Giúp học sinh lớp 10 thành thạo tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng vào tính diện tích tam giác

Nội dung tài liệu: Giúp học sinh lớp 10 thành thạo tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng vào tính diện tích tam giác

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG TRƯỜNG THPT VIỆT YÊN SỐ 2 ****** BÁO CÁO BIỆN PHÁP THAM GIA HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI CẤP TRƯỜNG CHU KÌ 2024 - 2026. Tên giải pháp: Giúp học sinh lớp 10 thành thạo tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng vào tính diện tích tam giác. Họ và tên: Trần Thị Luận Môn giảng dạy: Toán Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Việt Yên số 2 Việt Yên, ngày 10 tháng 2 năm 2025
2. 2 PHẦN A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong sách giáo khoa môn Toán 10 tập một của bộ sách: “ Kết nối tri thức với cuộc sống”, bài 11 là “ Tích vô hướng của hai vectơ”. Bài học gồm các phần kiến thức, kĩ năng là: tính góc giữa hai vectơ, tích vô hướng của hai vectơ trong những trường hợp cụ thể; công thức toạ độ của tích vô hướng, tính chất của tích vô hướng; liên hệ khái niệm tích vô hướng với khái niệm công trong vật lí. Sau khi học xong bài này, học sinh đã nắm được các kiến thức cơ bản và một số ứng dụng của tích vô hướng. Tuy nhiên, một số học sinh khi làm bài tập tính tích vô hướng vẫn còn lúng túng chưa biết áp dụng công thức nào phù hợp. Nhiều học sinh chưa quen tính diện tích tam giác bằng công thức sử dụng tích vô hướng. Thêm nữa, đa số học sinh chưa biết tính tích vô hướng bằng công thức hình chiếu. Vì thế, tôi xin trình bày biện pháp: “ Giúp học sinh lớp 10 thành thạo tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng vào tính diện tích tam giác.” PHẦN B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Thực trạng công tác dạy và học môn Toán ở trường THPT Việt Yên số 2 1. Ưu điểm: Nhà trường tạo điều kiện đầy đủ về cơ sở vật chất lớp học, thêm nữa là mỗi lớp đều có tivi phục vụ dạy học cần sử dụng công nghệ thông tin. Trình độ chuyên môn của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán đều là khá tốt. Nhiều thầy giáo, cô giáo dạy lâu năm giàu kinh nghiệm, chuẩn mực trong công tác giảng dạy cũng như có nhiều biện pháp giáo dục học sinh đạt kết quả tốt. Các em học sinh đã được định hướng lựa chọn theo học lớp xã hội hoặc lớp tự nhiên, từ đó chọn môn học phù hợp bản thân và công việc sau này. 2. Hạn chế và nguyên nhân hạn chế: 2.1. Giáo viên: Một số giáo viên đã đổi mới phương pháp dạy học tích cực ở các lớp nhưng có lớp còn chưa hiệu quả cao. 2.2. Học sinh: Một số học sinh chưa xác định được đúng động cơ học tập, không hiểu được tầm quan trọng của việc học nói chung và việc học môn Toán nói riêng. Bên cạnh đó, một số học sinh còn chưa nắm rõ kiến thức ở những lớp dưới, để lỗ hổng kiến thức ngày càng lớn. Vì vậy, các em chưa chủ động học tập, kết quả còn thấp.
3. 3 II. Biện pháp: “ Giúp học sinh lớp 10 thành thạo tính tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng vào tính diện tích tam giác ”. 1. Biện pháp 1: Giáo viên dạy học sinh nắm chắc kiến thức về góc giữa hai vectơ, định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ, tính chất của tích vô hướng, tiếp đó áp dụng vào làm bài tập. Mục 1. Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ và khác Từ một điểm A tùy ý, vẽ các vectơ và . Khi đó, số đo của góc BAC được gọi là số đo góc giữa hai vectơ và hay đơn giản là góc giữa hai vectơ kí hiệu là ( ). Chú ý: + Quy ước rằng góc giữa hai vectơ và có thể nhận một giá trị tùy ý từ đến . + Nếu ( )= thì ta nói rằng và vuông góc với nhau, kí hiệu là hoặc . + Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ cùng hướng. + Góc giữa hai vectơ bằng khi hai vectơ ngược hướng. Mục 2. Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa: Tích vô hướng của hai vectơ và (khác vectơ-không) là một số, kí hiệu là , được xác định bởi công thức sau: . Nhận xét + Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số dương khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn . + Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không là một số âm khi góc giữa hai vectơ là góc lớn hơn và nhỏ hơn .
4. 4 Chú ý: +) +) còn được viết là và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ Ta có . Mục 3. Tính chất của tích vô hướng: Với ba vectơ bất kì và mọi số thực k, ta có: • (tính chất giao hoán) • (tính chất phân phối đối với phép cộng) • Chú ý: Từ các tính chất trên, ta có thể chứng minh được ; Bài tập 1: Tính tích vô hướng uv. biết a) u 2, v 3, u , v 450 . b) u 5, v 4, u , v 1500 . Lời giải a) u . v u . v .cos u , v 2.3.cos450 3 2. b) u . v u . v .cos u , v 5.4.cos1500 10 3. Bài tập 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng a) AB . AC b) AB . BC Lời giải a2 a)Ta có: AB . AC AB . AC .cos AB , AC a . a .cos600 . 2
5. 5 C A B E b) Vẽ BE= AB . Khi đó ( AB, BC) =( BE , BC) = CBE = 180oo − CBA = 120 a2 Khi đó: AB . BC AB . BC .cos AB , BC a . a .cos1200 . 2 Nhấn mạnh: Giáo viên nhấn mạnh cách xác định góc giữa hai vectơ và công thức định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ. Ngoài ra, giáo viên đưa thêm cách giải 2 cho ý b của bài tập 1 là sử dụng vectơ đối và tính chất của tích vô hướng như sau: AB. BC BA . BC 1.. BA BC 1..cos, BA BC BA BC a2 1aa . .cos600 . 2 Bài tập 3: Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng 4 và có tâm O . Tính các tích vô hướng: a) AB . AD b) AB . DC c) AD . CB d) CO . DC Lời giải Vì hình vuông có cạnh bằng 4 nên các đường chéo bằng 42. A B O D C E a) Ta thấy AB AD AB.0 AD b) Ta có AB, DC cùng hướng nên ( AB, DC) = 0o suy ra AB. DC 4.4.cos00 16 c) Ta có AD, CB ngược hướng nên ( AD, CB) = 180o
6. 6 suy ra ADCB. 4.4.cos1800 16 d) Cách 1: Vẽ CE= DC , khi đó (CO, DC) =( CO , CE) = OCE = 135o suy ra CO. DC 2 2.4.cos1350 8 Cách 2: CO. DC CO . CD CO . CD 2 2.4.cos450 8 Bài tập 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a . M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM . Tính các tích vô hướng sau a) DM. DB b) CG. DC Phân tích đề bài: Ở phần a, nếu sử dụng định nghĩa tính tích vô hướng thì ta phải tính cosMDB theo định lí cô sin. Ở phần b, nếu sử dụng định nghĩa tính tích vô hướng thì ta phải tính cosDCG . Việc tính này khá khó khăn. Sau đây, chúng ta sử dụng tính chất tích vô hướng để làm hai phần trên. Lời giải 1 a) Vì M là trung điểm của AB nên DM=+ DA DB 2 ( ) 1 1 1 Ta có: DM.... DB= DA + DB DB = DA DB + DB DB 2( ) 2 2
7. 7 Mặt khác ADB = 450 và theo định lý Pitago ta có : BD= a22 + a = a 2 1 1 3 Suy ra: DM. DB= . a . a 2.cos 450 + . a 2. a 2.cos0 0 = a 2 . 2 2 2 b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên 11 CG= CA + CD + CM = CB + CD + CD + CB + BM 33( ) ( ) 1 1 2 5 = 22CB + CD + CD = CB + CD 3 2 3 6 2 5 5 5 2 Nên CG. DC= CB + CD . DC = 0 − CD . CD = − a . 3 6 6 6 Nhận xét: Khi tính tích vô hướng của hai vectơ mà tính góc giữa hai vectơ đó khá khó khăn thì ta có thể biến đổi vectơ đó theo các vectơ khác, sử dụng tính chất của tích vô hướng để đưa về các tích vô hướng đơn giản hơn, sau đó sử dụng định nghĩa để tính các tích vô hướng đơn giản đó. Bài tập 5: Cho hai vectơ a và b . Biết ab==2, 3 và (ab,) = 300 . Tính a) ab. b) ab+ . Lời giải a) Ta có a. b= a . b .cos( a , b) = 2. 3.cos300 = 3. 2 2 b) Ta có: a+ b =( a + b) = a22 + b +2 a . b = 4 + 3 + 3 = 13 ab + = 13 . 2. Biện pháp 2: Giáo viên dạy học sinh công thức hình chiếu tính tích vô hướng và áp dụng làm bài tập. Mục 4. Công thức hình chiếu: a) Bài toán: Cho hai vectơ OA, OB. Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng OA. Chứng minh rằng: OA..' OB= OA OB
8. 8 Chứng minh Vì B' là hình chiếu của B trên đường thẳng OA nên OA B' B OA . B ' B 0 Ta có: OAOB. OA .'' OB B B OAOB .'.' OA B B OAOB .'0 OAOB .'. b) Vectơ OB'gọi là hình chiếu vuông góc của OB trên đường thẳng OA. Công thức gọi là công thức hình chiếu. c) Chú ý: Cho hai vectơ AB, CD . Gọi C', D' lần lượt là hình chiếu vuông góc của C, D trên đường thẳng AB. Khi đó ta có AB. CD= AB . C ' D ' Bài tập 6: Cho hai vectơ . Gọi B' là hình chiếu của B trên đường thẳng OA. Biết OA==6; OB ' 5 , điểm B’ nằm giữa hai điểm O và A, tính tích vô hướng OA. OB Lời giải Áp dụng công thức hình chiếu ta có OA. OB= OA . OB ' = 6.5.cos00 = 30 Bài tập 7: Cho tam giác ABC vuông tại B , BC = 5 . Tính BC. CA. Lời giải A C B Ta có: B là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng BC nên CB là hình chiếu của CA trên đường thẳng BC. OA, OB OA..' OB= OA OB
9. 9 BC. CA= BC . CB = − BC22 = − 5 = − 25. Bài tập 8: Cho tam giác ABC có Aˆ = 900 , C = 300 và AC= a 3 . Tính AC. CB . Lời giải AC Cách 1: Xét tam giác ABC vuông tại A có BC==2 a cos300 Gọi D là điểm đối xứng với A qua C . 3 2 Khi đó: AC. CB =CDCB. = CDCB . .cos150  =a3.2 a . − = − 3 a . 2 Cách 2: Xét tam giác ABC vuông tại A có 3 Ta có: = −CACB. = − CACB . .cos30  = −a3.2 a . = − 3 a2 . 2 Cách 3: Ta có: A là hình chiếu của B trên đường thẳng CA nên vectơ CA là hình chiếu của CB trên đường thẳng CA. Khi đó AC. CB= AC . CA = − CACA . = − CA22 = − 3 a . Bài tập 9: Cho hình chữ nhật ABCD có AB==8, AD 5 . Tích AB. BD Lời giải B A E D C Cách 1: Giả sử E là điểm đối xứng với A qua B ta có AB= BE Xét ABD có BD= AB22 + AD = 89
10. 10 AB 8 8 Xét ABD có cosABD == suy ra cos( AB; BD) = cosDBE = − cosABD = − BD 89 89 −8 Ta có AB. BD= AB .. BD cos( AB ; BD) = 8.89. = − 64 89 Cách 2: Ta có: A là hình chiếu của D trên đường thẳng AB nên vectơ BA là hình chiếu của BD trên đường thẳng AB. Khi đó AB. BD= AB . BA = − AB22 = − 8 = − 64. Bài tập 10: Cho hình thang ABCD vuông tại A và B , biết AD== a,3 BC a và cạnh AB= 2 a. Gọi IJ, lần lượt là trung điểm của AB, CD . Tính các tích vô hướng a) BA BD b) AI AJ c) AB CD d) AC BD Lời giải a) Ta có: A là hình chiếu của D trên đường thẳng AB nên vectơ là hình chiếu của trên đường thẳng AB. Khi đó BA. BD= BA . BA = BA22 =( 2 a)2 = 4 a . b) Ta có: I là hình chiếu của J trên đường thẳng AI nên vectơ AI là hình chiếu của AJ trên đường thẳng AI. Khi đó AI.AJ= AI . AI = AI22 = a . c) Ta có: B, A lần lượt là hình chiếu của C, D trên đường thẳng AB nên vectơ BA là hình chiếu của CD trên đường thẳng AB. Khi đó ABCD.= AB . BA = − AB22 = − 4 a . d) Tính AC BD . Ta có: AC=+ BD( AB BC )( BA +=+++ AD ) AB BA AB AD BC BA BC AD 2 =−AB +++00 BC  AD  cos00 =− AB 2 +=− 31(2)3 a a a 2 + a 2 =− a 2 .
11. 11 Nhận xét: Khi bài toán có dữ kiện tam giác vuông, đề bài yêu cầu tính tích vô hướng của hai vectơ gồm một vecơ nằm trên cạnh góc vuông thì ta sử dụng công thức hình chiếu là nhanh nhất. 3. Biện pháp 3: Giáo viên dạy học sinh nắm chắc kiến thức về biểu thức toạ độ của tích vô hướng và áp dụng làm bài tập Mục 5. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: a) Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Tích vô hướng của hai vectơ và được tính theo công thức: = . b) Nhận xét: + Hai vectơ và vuông góc với nhau khi và chỉ khi + Bình phương vô hướng của là . + Nếu và đều khác vectơ-không thì Bài tập 11: Tính tích vô hướng biết a) u 1;2 , v 3;4 b) u 5; 3 , v 1;6 c) u 8;3 , v 3;8 Lời giải a) u . v 1.3 2.4 11 b) u . v 5.1 3 .6 13 c) u . v 8. 3 3.8 0 Bài tập 12: Tính tích vô hướng và tính góc giữa hai vectơ và biết a) u 3;2 , v 5; 1 b) u 2; 2 3 , v 3; 3 c) u 2; 3 , v 6;4 Lời giải a) uv . 3.5 2. 1 13 uv. 13 1 cosuv , 2 2 2 2 2 uv. 3 2 . 5 1 uv, 450 .
12. 12 b) uv . 2 .3 2 3 . 3 12 uv. 12 3 cosuv , 2 uv. 16. 12 uv, 1500 . c) uv . 2.6 3 .4 0 uv uv, 900 . Bài tập 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tứ giác ABCD có ABCD7; 3, 8;4, 1;5, 0; 2. a) Tính tích vô hướng AB. AD b) Tính tích vô hướng AC. CB c) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông. Lời giải a) Ta có: AB1;7 , AD 7;1 AB . AD 0 b) Ta có: AC6;8 , CB 7; 1 AC . CB 50 c) Ta có: AB BC CD DA 50 1 Mặt khác: AB. AD 0 AB AD BAD 900 2 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình vuông. 4. Biện pháp 4: Giáo viên dạy học sinh ứng dụng tích vô hướng vào tính diện tích tam giác. Mục 6. Ứng dụng tích vô hướng vào tính diện tích tam giác: a) Công thức 1:
13. 13 1 2 Với mọi tam giác ABC, ta có: S=− AB22. AC AB . AC ABC 2 ( ) Chứng minh 11 Ta có S= AB. AC .sin A S2 = AB 2 . AC 2( 1 − cos 2 A) 24 2 11( AB. AC) 2 Hay S2= AB 2. AC 2 1 − = AB 2 . AC 2 − AB . AC 4 AB22 . AC 4 ( ) 1 2 Vậy S=− AB22.. AC AB AC ABC 2 ( ) Nhận xét: Ta cũng có các công thức sau 1 2 S=− BA22.. BC BA BC ABC 2 ( ) 1 2 S=− CA22.. CB CACB ABC 2 ( ) b) Công thức 2: Xuất phát từ công thức ở phần a. Ta gọi AB x1; y 1 , AC x 2 ; y 2 , ta có 1 S= x2 + y 2. x 2 + y 2 −( x . x + y . y )2 ABC 2 ( 1 1) ( 2 2) 1 2 1 2 1 S= xxxyyxyy2222222222. + . + . + . − xx .2.... + xxyyyy + 22 . ABC 2 1212 12 12( 12 1212 12 ) 1 S= x2. y 2 − 2. x . x . y . y + y 2 . x 2 ABC 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 S=−( x.. y x y )2 ABC 2 1 2 2 1 1 S=− x.. y x y ABC 2 1 2 2 1 Như vậy, ta đã chứng minh được công thức tiếp theo tính diện tích tam giác.
14. 14 Công thức 2: Cho tam giác ABC có AB x11; y , AC x22; y Khi đó, diện tích tam giác ABC là BA x; y , CA x; y , Nhận xét: Ta có thể thay 11 hoặc 11 BC x22; y CB x22; y thì ta cũng có Bài tập 14: Cho tam giác ABC với ABC1;2, 8; 1, 8;8. Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải Cách 1: Sử dụng công thức 1 Ta có: AB9; 3 AB22 9 32 90 AC9;6 AC 2 9 2 6 2 117 AB. AC 9.9 3 .6 63 12 1 81 Vậy S= AB2. AC 2 − AB . AC = 90.117 − 63 2 = ABC 2( ) 2 2 Cách 2: Sử dụng công thức 2 AB 9; 3 AC 9;6 1 1 81 S= x. y − x . y = 9.6 − 9.( − 3) = . ABC 21 2 2 1 2 2 Bài tập 15: Cho tam giác ABC với ABC4;1 , 2;4 , 2; 2 . Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải 1 CáchS =−1: Sử x ..dụng y x công y thức 1 ABC 2 1 2 2 1 Ta có:
15. 15 AB6;3 AB2 6 2 3 2 45 AC6; 3 AC 22 6 32 45 AB. AC 6.6 3. 3 27 112 Vậy S= AB2. AC 2 − AB . AC = 45.45 − 27 2 = 18 ABC 22( ) Cách 2: Sử dụng công thức 2 AB 6;3 AC 6; 3 11 S= x. y − x . y = 6.( − 3) − 6.3 = 18. ABC 221 2 2 1 Bài tập 16: Cho tam giác ABC với ABC1;3, 2;4, 3;2. Tính diện tích tam giác ABC. Lời giải Cách 1: Sử dụng công thức 1 Ta có: AB1;1 AB2 1 2 1 2 2 AC4; 1 AC 2 422 1 17 AB. AC 1. 4 1. 1 5 12 1 3 Vậy S= AB22. AC − AB . AC = 2.17 −( − 5)2 = ABC 2( ) 2 2 Cách 2: Sử dụng công thức 2 AB 1;1 AC 4; 1 1 1 3 S= x. y − x . y = 1.( − 1) −( − 4) .1 = . ABC 21 2 2 1 2 2 Bài tập 17: Cho tam giác ABC với A3; 4, B 1;5, C x ;1. Tìm x sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5. Lời giải Cách 1: Sử dụng công thức 1 Ta có:
16. 16 AB2;9 AB22 22 9 85 AC x3;5 AC2 x 32 5 2 x 2 6 x 34 AB. AC 2 . x 3 9.5 2 x 51 112 Ta có: S= AB2. AC 2 − AB . AC = 85.( x 2 − 6 x + 34) −( − 2 x + 51)2 ABC 22( ) Theo giả thiết SABC 5 Suy ra 1 85.(x2 − 6 x + 34) −( − 2 x + 51)2 = 5 2 85.(x22 − 6 x + 34) −( − 2 x + 51)2 = 10 81xx2 − 306 + 189 = 0 x = 3 7 x = 9 7 Vậy x 3 hoặc x thì tam giác ABC có diện tích bằng 5. 9 Cách 2: Sử dụng công thức 2 AB 2;9 AC x 3;5 1 1 1 S= x. y − x . y =( − 2) .5 −( x − 3) .9 = 17 − 9 x . ABC 21 2 2 1 2 2 Theo giả thiết suy ra 1 17−= 9x 5 2 17 − 9x = 10 17−= 9x 10 17− 9x = − 10 7 x = 9 x = 3 Vậy hoặc thì tam giác ABC có diện tích bằng 5. Bài tập 18: Cho tam giác ABC với A Oy, B 2;0, C 7;3. Tìm toạ độ điểm A sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 15.
17. 17 Lời giải Gọi toạ độ Ay0; BA2; y BC 9;3 1 1 1 S= x. y − x . y =( − 2) .3 −( − 9) . y = 9 y − 6 . ABC 21 2 2 1 2 2 Theo giả thiết SABC 15 suy ra 1 9y −= 6 15 2 9y − 6 = 30 9y −= 6 30 9y − 6 = − 30 y = 4 8 y =− 3 8 Vậy A 0;4 hoặc A 0; thì tam giác ABC có diện tích bằng 15. 3
18. 18 PHẦN C. MINH CHỨNG VỀ HIỆU QUẢ CỦA BIỆN PHÁP I. Hình ảnh tôi đã áp dụng biện pháp tại lớp 10A6.
19. 19 II. Số liệu thống kê trước và sau khi áp dụng biện pháp đối với học sinh lớp 10A6. 1. Trước khi áp dụng biện pháp, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra như sau: ABC Aˆ = 900 C = 300 AC= a 3 AC. CB Câu 1: Tính tích vô hướng biết Câu 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng . Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh . a làM trung điểm của . TínhAB ABC1;2, 8; 1, 8;8. Câu 4: Biết DM. DB và . Tính a) b) . Câu 5: Cho tam giác có , và . Tính . Câu 6: Cho hình chữ nhật có . Tính . uv. ab==2, 3 (ab,) = 300 Câua) u 7: Tính 2, v tích 3, vô uhướng , v 450 . biết b) u 5, v 4, u , v 1500 . ab. ab+ a) u 1;2 , v 3;4 b) u 5; 3 , v 1;6 c) u 8;3 , v 3;8 . Câu 8: Cho ABC7; 3, 8;4, 1;5 Tính tích vô hướng AB. AC . ABCD AB==8, AD 5 AB. BD Câu 9: Cho tam giác ABC với Tínha) AB diện . AC tích tam b) giác AB ABC. . BC A3; 4, B 1;5, C x ;1. Câu 10: Cho tam giác ABC với Tìm x sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 5.
20. 20 2. Sau khi áp dụng biện pháp, tôi đã cho học sinh làm bài kiểm tra như sau: Câu 1: Tính tích vô hướngABC biếtAˆ = 900 C = 300 a) u 4, v 5, u , v 600 . b) u 2, v 7, u , v 1350 . Câu 2: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 2a. Tính các tích vô hướng a) BA . BC b) AC . CB . a M AB Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh . là trung điểm của . Tính CM. AC . Câu 4: Biết ab4, 6 và . Tính a) b) . Câu 5: Cho tam giác có , và AB= a 7 . Tính AB. CB . Câu 6: Cho hình chữ nhật uv. có AB==6, AC 4 . Tính CA. AD . (ab,) = 300 Câu 7: Tính tích vô hướng và tính góc giữa hai vectơ và biết ab. ab+ a) u 2;3 , v 1;5 b) u 2;2 3 , v 3; 3 c) u 2;3 , v 6;4 . AB. AC Câu 8: Cho ABC1;3, 2;4, 3;2 Tính tích vô hướng . ABCD Câu 9: Cho tam giác ABC với ABC1; 1, 3;5, 2;4. Tính diện tích tam giác ABC. Câu 10: Cho tam giác ABC với A Ox, B 3;2 , C 2;1 . Tìm toạ độ điểm A sao cho tam giác ABC có diện tích bằng 2.