Phát triển khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh thông qua bài toán hình học không gian tìm thể tích khối đa diện

Nội dung tài liệu: Phát triển khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh thông qua bài toán hình học không gian tìm thể tích khối đa diện

1. CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc THUYẾT MINH MÔ TẢ GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN SÁNG KIẾN 1. Tên sáng kiến: "Phát triển khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh thông qua bài toán hình học không gian tìm thể tích khối đa diện" 2. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu: 10 /2021. 3. Các thông tin cần bảo mật: Không 4. Mô tả các giải pháp cũ thường làm 4.1. Giải pháp cũ Nội dung bài toán tính thể tích khối đa diện, học sinh đã được học trong chương 1 hình học lớp 12. Sách giáo khoa chỉ cung cấp cho học sinh công thức tính thể tích khối chóp là 1 V B.h và thể tích khối lăng trụ V B.h trong đó B là diện tích đáy của khối chóp, khối 3 lăng trụ, h là chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ. Đây là nội dung có trong phần ôn thi THPT quốc gia, cũng như ôn thi học sinh giỏi và là một nội dung khó dạy. Đây là mảng kiến thức khó đối với học sinh đại trà và thường bị mất điểm trong các kì thi. Khi dạy nội dung này qua quá trình trao đổi với đồng nghiệp tôi và đa số các thầy cô luôn thay đổi và áp dụng nhiều phương pháp dạy học tích cực khác nhau, tuy nhiên các phương pháp chủ yếu vẫn tập trung: Cung cấp lí thuyết, chia dạng bài tập và cách giải mẫu theo dạng bài sau đó giao nhiệm vụ học sinh thực hiện làm bài theo mẫu, dạng toán giáo viên đưa ra. Học sinh thụ động làm bài, khi gặp các bài đòi hỏi cần tư duy cao hơn, yếu tố xác định chiều cao khối đa diện bị ẩn đi, hoặc diện tích mặt đáy khó xác định các em đa số không làm được, do đó kết quả dạy và học phần kiến thức này đạt được chưa thực sự hiệu quả cao. Học sinh thường có tâm lí "sợ" khi học phần kiến thức này. 4.2. Tình trạng khảo sát chất lượng học sinh Mặc dù trong suốt quá trình giảng dạy, bản thân tôi và các thầy cô giáo có thay đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực, tuy nhiên khi tiến hành khảo sát kiến thức học sinh về phần bài toán tìm thể tích khối đa diện. Đa số học sinh mới chỉ dừng lại ở kĩ năng giải các bài toán cơ bản, thường gặp. Chủ yếu mới giải quyết được phần bài tập ở mức độ thông hiểu và nhận biết. Phần bài tập mức độ vận dụng và vận dụng cao chiếm số ít. Hơn nữa nhiều học sinh còn chưa tích cực trong quá trình học tập chưa có sự chủ động trong việc 1
2. học, chưa tự giác chuẩn bị bài khi ở nhà. Trên lớp các em quen với việc tiếp nhận kiến thức một chiều, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức, chỉ làm được bài theo mẫu. Ví dụ như năm học 2020 – 2021, sau khi các em học sinh được học xong chương 1: "Khối đa diện" . Tôi thực hiện bài kiểm tra khảo sát 45 phút tại hai lớp là 12A1 sĩ số 38, 12A4 sĩ số 42 thu được kết quả như sau: Điểm Trung Sĩ Giỏi Khá Yếu Kém trung Bình Lớp số bình SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 38 6.5 10 26.3 15 39.5 11 28.9 2 5.3 0 0 12A4 42 5.5 5 11.9 12 28.6 21 50 4 9.5 0 0 Kết quả thu được ở lớp 12A1 là lớp mũi nhọn số học sinh đạt điểm khá giỏi chiếm 65.8%, vẫn có học sinh đạt điểm yếu , ở lớp 12A4 lớp đại trà điểm khá giỏi chiếm 40.5%, số lượng học sinh có điểm trung bình yếu tỉ lệ cao. Như vậy, kết quả học tập còn nhiều hạn chế, chưa đạt được yêu cầu mong đợi . Hơn nữa khi trao đổi với học sinh tôi thấy tình trạng chung đa số các em thấy khó xác định hướng làm và "chán" khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện. Dẫn đến thường không làm được dạng bài này, đặc biệt đối với học sinh đại trà thường bị mất điểm trong các bài kiểm tra, bài thi. Đối với học sinh khá giỏi các em có khả năng làm tốt hơn tuy nhiên cách làm còn rời rạc chưa biết tư duy hệ thống nên tốn khá nhiều thời gian do đó kết quả đem lại còn hạn chế. Chính vì lí do đó, tôi thấy cần phải thay đổi cách dạy và đặc biệt chú trọng việc hướng dẫn học sinh cách học để chiếm lĩnh kiến thức nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đồng thời khơi gợi để các em yêu thích và say mê môn Toán. 4.3. Nhược điểm, hạn chế của giải pháp cũ Qua kết quả khảo sát tôi nhận thấy: Thực hiện theo giải pháp cũ còn nhiều hạn chế về các mặt như sau: - Học sinh tư duy theo lối mòn, gặp dạng bài đúng như được học thì biết làm bài. - Học sinh học thụ động máy móc tiếp nhận kiến thức một chiều. Không chủ động trong việc học, việc học và làm bài tập về nhà mang tính đối phó. - Học sinh chỉ biết làm bài toán tính thể tích khối đa diện khi đề cho sẵn chiều cao, mặt đáy là các hình cơ bản, dễ dàng tính được diện tích. Khi yếu tố xác định chiều cao hoặc diện 2
3. tích mặt đáy bị ẩn đi, học sinh lúng túng không xác định rõ được hướng làm, dẫn đến xác định sai, hoặc không tính được. Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy của hình chóp. Cho AB a,SA a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Tính thể tích khối chóp OAHK . Hướng dẫn giải theo hướng tư duy cũ (giải pháp cũ) Phân tích: Để tính thể tích khối chópOAHK . Ta chứng minh SC  AHK nên chân đường vuông góc hạ từ đỉnh O xuống AHK có thể xác định được theo phương SC. Lời giải Dễ dàng chứng minh được SC  AHK . Giả sử AHK cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ song song SC. Suy ra OJ  AHK . Do đó 1 V S .OJ, SA AC a 2 SAC cân tại A OAHK 3 AHK suy ra I là trung điểm SC. Vậy 1 1 1 a OJ IC SC 2a , Ta lại có 2 4 4 2 SK SH SAD SAB AK AH,SK SH suy ra HK / /BD AI cắt SO tại G là trọng tâm SD SB HK SG 2 2 2 2a của tam giác SAC , G thuộc HK nên HK BD , tam BD SO 3 3 3 giác AHK cân tại A, G là trung điểm HK nên AG  HK và 2 2 1 1 2a 1 1 2a 2 2a 2 2a2 AG AI . SC 2a a , S AG.HK . . , 3 3 2 3 3 AHK 2 2 3 3 9 1 1 2 2a2 a a3 2 V .S .OJ . . OAHK 3 AHK 3 9 2 27 Phân tích: Ở ví dụ này khi giải theo phương pháp tư duy cũ học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc đưa ra định hướng giải và tính toán. Đặc biệt là để làm xuất hiện điểm I , sau đó tính các dữ kiện để tính diện tích tam giác AHK là điều không dễ dàng đối với đại đa số học sinh. Hơn nữa lại mất rất nhiều thời gian. 5. Sự cần thiết phải áp dụng giải pháp sáng kiến Nội dung hình học không gian, đặc biệt đối với bài toán tính thể tích khối đa diện chiếm một vị trí khá quan trọng trong chương trình hình học lớp 12. Các bài toán tính thể tích khối đa diện luôn xuất hiện trong các đề kiểm tra, thi học kỳ, thi THPT Quốc Gia, tốt 3
4. nghiệp THPT và thi học sinh giỏi. Các kiến thức về phần thể tích khối đa diện còn được sử dụng để giải quyết các dạng toán khác trong chương trình toán 12. Trong khi đó thời lượng chương trình dành cho nội dung này còn chưa nhiều, sách giáo khoa mới chỉ cung cấp cho học sinh công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ, số lượng ví dụ, bài tập áp dụng chưa nhiều, nó đòi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp về hình học không gian, từ các tính chất về quan hệ song song đến quan hệ vuông góc, đòi hỏi học sinh phải có trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt đòi hỏi học sinh phải có sự say mê, yêu thích với các hình vẽ, ... là mảng kiến thức khó đối với học sinh đại trà. Đối với học sinh khá giỏi các em có khả năng làm tốt hơn tuy nhiên cách làm còn rời rạc chưa biết tư duy hệ thống nên tốn khá nhiều thời gian. Mặc dù đã có khá nhiều chuyên đề toán THPT viết về các bài toán trong hình học không gian, hầu hết loại bài tập này chỉ dừng ở việc cung cấp bài tập và cách giải, chưa có tài liệu nào phân loại một cách rõ nét cách tư duy các bài toán về tính thể tích của khối đa diện. Đối với các giáo viên, thì do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề có tính hệ thống về phần này còn gặp nhiều khó khăn. Đối với học sinh các em quen với việc học tập, tiếp nhận kiến thức một chiều. Học và làm bài máy móc, chính vì vậy các em thường khó định hướng được phương pháp làm khi đứng trước một bài toán hình học không gian, từ đó việc học và giải các bài toán tính thể tích khối đa diện là một điều không dễ thực hiện đối với các em học sinh. Từ những lí do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, nhằm xây dựng cho học sinh khả năng tự học tự nghiên cứu và có một cái nhìn tổng quát về bài toán tính thể tích của khối đa diện, cũng như khơi gợi niềm đam mê học Toán. Tôi viết sáng kiến: " Phát triển khả năng tự học tự nghiên cứu của học sinh thông qua bài toán hình học không gian tìm thể tích khối đa diện" trong đó đưa ra một hệ thống bài tập đã được phân loại một cách tương đối tốt, qua đó giúp học sinh không phải e sợ phần này và quan trọng hơn, đứng trước một bài toán học sinh có thể bật ngay ra được cách giải, được định hướng trước khi làm bài qua đó có cách giải tối ưu cho mỗi bài toán. Do vậy, việc áp dụng giải pháp trong sáng kiến này để giảng dạy ở lớp 12, ôn thi tốt nghiệp THPT, ôn thi THPT Quốc Gia, ôn thi học sinh giỏi là rất cần thiết. 4
5. Ví dụ minh họa: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy của hình chóp. Cho AB a,SA a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . Tính thể tích khối chóp OAHK . Hướng dẫn giải theo hướng giải pháp mới Hướng phân tích 1: Theo giả thiết bài vìOAHK là khối tứ diện do đó ta có thể xác định chiều cao khối tứ diện xuất phát từ đỉnh A, sau đó "mở rộng" đáy ta được bài toán tính dễ dàng hơn. Cách 1. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OHK bằng khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD . Tứ diện (ASBD) vuông tại A nên: 1 1 1 1 5 a 10 h h2 AS 2 AB2 AD2 2a 5 Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng: 1 1 a 10 2 2a 5a2 1 2a3 S OG.HK . . V Sh . 2 2 6 3 9 3 27 Hướng phân tích 2: Thấy xuất hiện góc tam diện vuông, do đó có thể dùng phương pháp gắn hệ trục tọa độ. Cách 2. Giải bằng phương pháp tọa độ: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho O  A,B a;0;0 , D 0;a;0 ,S 0;0;a 2 2a a 2 2a a 2 a a Tính SH, SK suy ra tọa độ của H 0; ; ,K ;0; ,O ; ;0 3 3 3 3 2 2 1    Áp dụng công thức V AH, AK .AO 6 Nhận xét: Cả hai hướng giải đều rất nhanh gọn, giúp học sinh nhanh chóng tìm ra đáp án, rất phù hợp với việc làm đề trắc nghiệm như hiện nay. Đồng thời qua quá trình nghiên cứu các phương án, học sinh sẽ tự rèn được cho mình hướng tư duy khi gặp các bài toán tương tự như vậy, đồng thời có thể tự tư duy phát triển cho các bài toán tiếp theo. 6. Mục đích của giải pháp sáng kiến Trong sáng kiến đã đưa ra rất rõ các giải pháp đối với giáo viên, giải pháp đối với học sinh để phát triển khả năng tự học tự nghiên cứu của học sinh đồng thời các giải pháp trong sáng kiến giúp học sinh khắc phụ sai lầm thường gặp, cũng như giúp học sinh có thể dễ 5
6. dàng nhận biết, xác định được hướng làm khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện. Học sinh tự độc lập chiếm lĩnh kiến thức mới biết tư duy thiết lập được bốn phương pháp giải cho các dạng toán điển hình về tính thể tích khối đa diện. Cụ thể: Giải pháp 1: Tính bằng công thức trực tiếp. Giải pháp này giúp học sinh có thể dễ dàng nhận biết và giải quyết được các bài toán liên quan đến tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ Khi xác định được trực tiếp được chiều cao, diện tích mặt đáy của khối đa diện cần tính thể tích thông qua giả thiết bài. Giải pháp 2: Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Giải pháp này giúp học sinh có thể dễ dàng nhận biết và giải quyết được các bài toán liên quan đến tính thể tích khối đa diện có đáy không đặc biệt. Trong phần lý thuyết đưa ra có phần lý thuyết nâng cao giúp học sinh tự nghiên cứu thêm để làm bài toán mở rộng, từ đó nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu của học sinh Giải pháp 3: Tính thể tích bằng cách phân chia lắp ghép thêm hình khối đa diện. Giải pháp này giúp học sinh có thể dễ dàng giải quyết được các bài toán tính thể tích khối đa diện khi việc tính toán trực tiếp gặp nhiều khó khăn: Khó khăn khi xác định chiều cao hoặc khó xác định diện tích mặt đáy. Bằng cách phân chia khối đa diện thành các khối đa diện nhỏ mà có thể tính được thể tích, sau đó cộng các kết quả lại ta được thể tích cần tính hoặc ta có thể ghép thêm vào khối đa diện một khối đa diện khác sao cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện mới có thể dễ dàng tính được thể tích. Giải pháp 4: Tính thể tích khối đa diện bằng phương pháp tọa độ Giải pháp này quy bài toán hình học không gian thuần túy sang phương pháp tọa độ giúp học sinh có thể dễ dàng nhận biết và giải quyết được các bài toán liên quan đến hình chóp tứ giác có đáy là các hình đặc biệt: Hình vuông, chữ nhật, hình thoi Từ đó học sinh tính được thể tích khối đa diện dễ dàng dựa vào công thức đã có, rất phù hợp với bài toán trắc nghiệm. Dạy học theo các giải pháp này nhằm khuyến khích được tinh thần tự học tự nghiên cứu của học sinh, học sinh có hứng thú trong học tập, tự giác và hoàn thành tốt nhiệm vụ được giao. Từ đó học sinh có thể phát triển năng lực tư duy lôgic và sáng tạo, giúp các em thấy yêu thích môn Toán hơn, nhất là phần hình học không gian. Ngoài ra, sáng kiến cũng là nguồn tư liệu hữu ích cho giáo viên, giúp các thầy cô có thêm kinh nghiệm trong việc giảng dạy, luyện thi tốt nghiệp THPT và bồi dưỡng học sinh giỏi về phần hình học không gian tìm thể tích khối đa diện. 7. Nội dung: 6
7. 7.1. Thuyết minh giải pháp mới hoặc cải tiến 7.1.1. Giải pháp đối với giáo viên - Giáo viên cần có đề cương chi tiết cho học sinh trước khi bắt đầu vào giảng dạy một nội dung nào đó. Trong đó có ghi rõ phần nào học trên lớp, phần nào học sinh cần nghiên cứu tại nhà hoặc học theo nhóm. - Trong những chương, phần yêu cầu người học tự học, giáo viên cần nêu rõ mục tiêu chương, phần đó. Đặt ra các câu hỏi yêu cầu người học phải trả lời được sau khi học xong phần kiến thức này. - Hướng dẫn học sinh cách đọc, nghiên cứu tài liệu, tóm tắt tài liệu đọc được cách lập dàn bài, đề cương. - Kiểm tra tính tự học của người học thông qua các hệ thống câu hỏi trắc nghiệm, tự luận hoặc bài làm trực tuyến lấy điểm điều kiện. 7.1.2. Giải pháp đối với học sinh Học sinh để hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu cần chuẩn bị cho mình tốt những yếu tố sau: - Người học phải quán triệt tinh thần: " Tự lực cánh sinh " cố gắng tự mình suy nghĩ " thêm tí nữa ". - Điều quan trọng bậc nhất: Độc lập suy nghĩ, làm việc khiến những kiến thức được tiếp thu được sâu sắc, dễ vận dụng. - Học phải có kế hoạch: Người học phải có kế hoạch cho việc tự học, tự nghiên cứu. - Người học phải tự mình rèn kĩ năng đọc sách, nghiên cứu tài liệu qua sách, hoặc các trang web toán học, các diễn đàn toán học - Người học tự hệ thống hóa kiến thức đã học trên lớp, kết hợp kiến thức đã học thông qua cách lập sơ đồ, mối quan hệ giữa hệ thống kiến thức. - Trong quá trình tự học, tự nghiên cứu chú trọng đẩy mạnh phương pháp tự học, cũng cần chú ý đến sự tương trợ nhau trong học tập. " Học thầy không tày học bạn". Do đó người học có thể kết hợp với những bạn học khác thành nhóm học tập, trao đổi thông tin, học hỏi nhau khắc sâu kiến thức bài học. * Các bước thực hiện nhiệm vụ tự học tự nghiên cứu của học sinh để giải bài toán hình học không gian tính thể tích khối đa diện Bước 1. Học sinh nghiên cứu hệ thống lí thuyết và ví dụ phân tích có trong tài liệu giáo viên triển khai. Nhận hệ thống bài tập tự luận và trắc nghiệm. Bước 2. Thực hiện tìm các giải pháp để giải quyết hệ thống bài tập được giao. 7
8. Bước 3. Áp dụng các giải pháp đã nghiên cứu vào làm bài 7.1.3. Giải pháp đối với bài toán tính thể tích khối đa diện 7.1.3.1. Các bài toán thường gặp đối với thể tích khối đa diện Bài toán tính thể tích khối chóp: Khối chóp đều, không đều, có mặt bên vuông góc mặt đáy, cạnh bên vuông góc mặt đáy, có đáy là tam giác, tứ giác Bài toán tính thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ đứng, lăng trụ đều, lăng trụ xiên. Bài toán tính tỉ lệ thể tích. Bài toán cực trị thể tích 7.1.3.2. Giải pháp 1. Tính bằng công thức trực tiếp. Lí thuyết chung. Cần tìm trực tiếp các yếu tố: Độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao. a) Thể tích của khối chóp: 1 V S .h với Sd là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp 3 d * Đặc biệt: Nếu hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc thì thể tích khối 1 chóp S.ABC : V SA.SB.SC . 6 b) Thể tích của khối lăng trụ: V Sd .h với Sd là diện tích đáy, h là chiều cao của khối lăng trụ. Đặc biệt: * Thể tích của khối hộp chữ nhật: V abc với a, b, c là ba kích thước của khối hộp chữ nhật. * Thể tích khối lập phương V a3 , với a là độ dài cạnh của hình lập phương. c) Các hướng xác định trực tiếp đường cao của khối chóp thường gặp: - Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì cạnh đó chính là đường cao. - Khối chóp có mặt bên hoặc mặt chéo vuông góc với mặt đáy thì đường cao chính là đường cao của mặt bên hoặc mặt chéo đó. - Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy thì đường cao là cạnh chung của hai mặt bên đó. - Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau, hoặc có các cạnh bên nghiêng đều trên mặt đáy (tạo với mặt đáy các góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp 8
9. mặt đáy. - Khối chóp có các mặt bên nghiêng đều trên mặt đáy (tạo với mặt đáy các góc bằng nhau) hoặc các đường cao của các mặt bên xuất phát từ đỉnh bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. d) Các hướng xác định chiều cao khối lăng trụ thường gặp: - Lăng trụ đứng: Cạnh bên chính là chiều cao lăng trụ. - Lăng trụ bất kì: Căn cứ giả thiết bài toán, cho góc của cạnh bên và mặt đáy, hoặc cho sẵn hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy ta đi xác định chiều cao lăng trụ. 7.1.3.2.1. Ví dụ Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a 3 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Tính thể tích khối chóp S.AMN . Phân tích: Bài toán này đã cho sẵn chiều cao của khối chóp là SA. Khối chóp S.AMN có đáy là tam giác AMN cân tại A. Đã biết dữ kiện để tính diện tích. Do đó chúng ta áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối chóp. Lời giải Khối chóp S.AMN có: Đáy là tam giác AMN đường cao là SA + AMN có Â 600 , AM AN a. 1 1 3 a2. 3 S AM.AN.sin600 .a.a. , AMN 2 2 2 4 1 1 a2. 3 a3 và SA a 3 . Vậy V .S .SA . .a. 3 S.AMN 3 AMN 3 4 4 Ví dụ 2. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; 0 CD a , AB AD 2a . Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 60 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Phân tích: Bài toán chưa cho trực tiếp chiều cao khối chóp. Do đó học sinh vận dụng lí thuyết xác định chiều cao khối chóp là đoạn giao tuyến của hai mặt cùng vuông góc với đáy: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD , theo giả thiết ta có SI  (ABCD) vì thế nên SI là chiều cao khối chóp. Lời giải 9
10. Theo giả thiết ta có: hai mặt phẳng SBI và SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD 1 và cắt nhau theo giao tuyến SI suy ra SI  ABCD bởi vậy V S .SI . S.ABCD 3 ABCD AB DC AD 2 Ta có S 3a S.ABCD 2 Để tính SI ta sử dụng giả thiết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD bằng 600 . Cách 1. Gọi K là hình chiếu vuông góc của I trên BC, suy ra CB  IK . Kết hợp với SI  CB ta được SK  CB . Vậy góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABCD là S· KI S· KI 600 . 3a2 Ta có S S S S ,BC a 5 . Mặt khác: IBC ABCD ABI IDC 2 1 2S 3 5a S BC.IK IK IBC . Tam giác SIK vuông tại I suy ra IBC 2 BC 5 3 15 1 3 15 3 15 SI IK tan600 a . Vậy V 3a2. a a3 5 S.ABCD 3 5 5 Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông góc với đáy của hình chóp. Cho AB a,SA a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD . a) Chứng minh SC  AHK . b) Tính thể tích khối chóp OAHK . Phân tích: Để tính thể tích khối chópOAHK . Do SC  AHK nên chân đường vuông góc hạ từ đỉnh O xuống AHK có thể xác định được theo phương SC. Lời giải a) Theo giả thiết ta có AH  SB, AH  BC( do BC  SAB ) AH  SC tương tự SC  AK , vậy SC  AHK . b) Cách 1. Giả sử AHK cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ song song SC. 1 Suy ra OJ  AHK . Do đó VOAHK S AHK .OJ, SA AC a 2 SAC cân tại A suy 3 1 1 1 a ra I là trung điểm SC. Vậy OJ IC SC 2a , Ta lại có 2 4 4 2 10
11. SK SH SAD SAB AK AH,SK SH suy ra HK / /BD AI cắt SO tại G là trọng SD SB HK SG 2 2 2 2a tâm của tam giác SAC , G thuộc HK nên HK BD , tam giác BD SO 3 3 3 2 2 1 1 2a AHK cân tại A, G là trung điểm HK nên AG  HK và AG AI . SC 2a a , 3 3 2 3 3 1 1 2a 2 2a 2 2a2 1 1 2 2a2 a a3 2 S AG.HK . . , V .S .OJ . . AHK 2 2 3 3 9 OAHK 3 AHK 3 9 2 27 Cách 2. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng OHK bằng khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD . Tứ diện (ASBD) vuông tại A nên: 1 1 1 1 5 a 10 h h2 AS 2 AB2 AD2 2a 5 Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng: 1 1 a 10 2 2a 5a2 1 2a3 S OG.HK . . V Sh . 2 2 6 3 9 3 27 Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh AB a . Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600 . Gọi D là giao điểm của SA với mặt phẳng qua BC và vuông góc với SA . Tính thể tích của khối chóp S.BCD . Phân tích: Nhắc lại tính chất của chóp đều, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. + Hình chiếu của S trên đáy trùng với tâm O của đáy. + Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc S· AO và bằng 60o . + Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác SAB và SAC bằng nhau, do đó BD DC. * Nhận thấy SA vuông góc với BCD nên khối chóp S.BCD có đường cao là SD đáy là (BCD).Trong đó tam giác BCD cân tại D nên có đường cao là DM , cạnh đáy là BC . Lời giải Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Theo giả thiết các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy một góc bằng 600 , do đó hình chiếu vuông góc của S lên mặt đáy ABC là O. Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy là góc S· AO 600 . 11
12. a 3 Tam giác ABC có: AM . 2 2 a 3 + Tam giác SAO có: OA AM và S· AO 60 , nên tính được SO OA.tan60 a , 3 3 OA 2a 3 SA . cos60 3 Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác SAB và SAC bằng nhau, do đó BD DC. a 3 3a + Tam giác AMD có AD AM.cos60 và DM AM.sin60 . 4 4 5a 3 + Tính được SD SA – AD . 12 1 1 1 5a3 3 + Vậy : V SD.S SD. DM.BC . S.BCD 3 DBC 3 2 48 Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABC có chân đường cao nằm trong tam giác ABC; các mặt phẳng SAB ; SAC ; SBC cùng tạo với mặt phẳng ABC một góc bằng nhau. Biết AB 25, BC 17, AC 26, đường thẳng SB tạo với đáy một góc bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp SABC. Phân tích: Theo giả thiết ta gọi hình chiếu của S lên mặt đáy là J . Khi đó chứng minh được J là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy. Từ đó tính được chiều cao của khối chóp. Lời giải Gọi J là chân đường cao của hình chóp S.ABC; H, K và L lần lượt là hình chiếu của J trên các cạnh AB, AC và BC. Suy ra S· HJ, S· LJ và S· KJ lần lượt là góc tạo bởi mặt phẳng ABC với các mặt phẳng SAB , SBC , SAC . Theo giả thiết ta có: S· HJ S· LJ S· KJ , suy ra các tam giác vuông SJH, SJL, SJK bằng nhau từ đó, JH JL JK. Mà J nằm trong tam giác ABC nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Áp dụng công thức Hê- rông, ta tính được diện tích của tam giác ABC là S 204. Kí hiệu P là nửa chu vi tam giác ABC, r là bán kính đường tròn nội tiếp của ABC. 12
13. S 204 Ta có r 6. Đặt x BH BL, y CL CK, z AH AK. P 34 x y 17 x 8 Ta có hệ phương trình: x z 25 y 9 y z 26 z 17 JB JH 2 BH 2 62 82 10 . Ta có S· BJ ·SB, ABC 450 , suy ra SJB là tam giác vuông cân tại J suy ra SJ JB 10. 1 Thể tích V của khối chóp S.ABC là V SJ.S 680 . 3 ABC Ví dụ 6. Cho lăng trụ tam giác ABC.A' B 'C '. Có độ dài cạnh bên là 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 3 hình chiếu vuông góc của A' lên ABC là trung điểm của cạnh BC . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. Phân tích: Khối lăng trụ ABC.A' B 'C '. có chiều cao là A' H với H là trung điểm cạnh BC . Mặt đáy khối lăng trụ là tam giác vuông ABC vuông tại A. Do đó áp dụng trực tiếp công thức để tính. Lời giải Gọi H là trung điểm BC . Từ giả thiết suy ra A' H  ABC . VABC.A'B'C ' A' H.SABC Mà tam giác ABC vuông tại A nên ta có 1 a2 3 S AB.AC ABC 2 2 1 1 AH BC AC 2 AB2 a . 2 2 Tam giác A' HA vuông tại H suy ra A' H AA'2 AH 2 a 3 a2 3 3a3 Vậy V A' H.S a 3. . ABC.A'B'C ' ABC 2 2 Ví dụ 7. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A B C có đáy là tam giác đều ABC cạnh a 4 . Biết S A BC 8. Tính thể tích V của khối lăng trụ. Phân tích: Lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng do đó độ dài cạnh bên là độ dài chiều cao lăng trụ. Diện tích đáy lăng trụ là diện tích tam giác đều cạnh a, do đó bài toán áp dụng trực tiếp công thức để tính. Lời giải 13
14. Gọi F là trung điểm của cạnh BC . Suy ra A' F  BC . 1 Ta có S .A' F.BC 8 A' F 4 . A'BC 2 4 3 Ta có AF là chiều cao ABC AF 2 3 . 2 Ta có AA ' A' F 2 AF 2 2 . 42 3 Ta có: V V AA '.S 2. 8 3. ABC.A B C ABC 4 2 a 3 + Tam giác SAO có: OA AM và S· AO 60 , 3 3 nên tính được SO OA.tan60 a , OA 2a 3 SA . cos60 3 Vì đáy là tam giác đều suy ra hai tam giác SAB và SAC bằng nhau, do đó BD DC. a 3 3a + Tam giác AMD có AD AM.cos60 và DM AM.sin60 . 4 4 5a 3 + Tính được SD SA – AD . 12 1 1 1 5a2 3 + Vậy : V SD.S SD. DM.BC . S.BCD 3 DBC 3 2 48 7.1.3.2.2. Bài tập A. Bài tập tự luận Bài 1. Cho khối chóp S.ABCD . Đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a, AD a 3, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng SBC tạo với mặt đáy một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD . Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy là 450 , đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB 2a , góc ·ABC 600 và hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC . Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông. Mặt bên (SAB) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng 3 7a SCD bằng . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD . 7 Bài 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B . Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc SB và AE vuông góc với SC . Biết AB a, BC b , SA c . Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE . 14
15. Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A' B 'C 'có đáy là tam giác vuông cân ở C. Cạnh BB ' a và tạo mặt đáy góc 600 . Hình chiếu vuông góc hạ từ B ' lên mặt đáy trùng với trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích khối lăng trụ đó theo a. B. Bài tập trắc nghiệm. Câu 1. (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông a 2 góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng . Tính thể tích của khối 2 chóp đã cho. a3 3a3 a3 A. B. a3 C. D. 3 9 2 Câu 2. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , ·ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy một góc 45. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC . a3 3 a3 3 a3 a3 3 A. V B. V C. V D. V 18 12 2 3 9 Câu 3. (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a và AD 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD biết góc giữa hai mặt phẳng SBD và ABCD bằng 600 . a3 15 a3 15 4a3 15 a3 15 A. V B. V C. V D. V 15 6 15 3 Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a , AD = 2a ; SA a vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến (SCD) bằng . Tính thể tích của khối chóp theo 2 a . 4 15 4 15 2 5 2 5 A. a3 . B. a3 . C. a3 . D. a3 . 45 15 15 45 Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và ABCD bằng 600 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của SB, SC . Tính thể tích khối chóp S.ADNM . a3 6 a3 6 3a3 6 a3 6 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = . 16 24 16 8 Câu 6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và a 3 khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD bằng . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 3 a3 a3 3a3 A. V . B. V a3 . C. V . D. V . 2 3 9 15
16. Câu 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, 1 BC AD a . Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc giữa 2 15 SC và mặt phẳng ABCD bằng sao cho tan . Tính thể tích khối chóp S.ACD 5 theo a . a3 a3 a3 2 a3 3 A. V . B. V . C. V . D. V . S.ACD 2 S.ACD 3 S.ACD 6 S.ACD 6 Câu 8. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm của cạnh AD; gọi M là trung điểm của CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABM . a3 15 a3 15 a3 15 a3 15 A. B. C. D. 3 6 4 12 Câu 9. (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . 2 Hình chiếu vuông góc của S trên đáy là điểm H trên cạnh AC sao cho AH AC ; mặt 3 phẳng SBC tạo với đáy một góc 60o . Thể tích khối chóp S.ABC là? a3 3 a3 3 a3 3 a3 3 A. B. C. D. 12 48 36 24 Câu 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD độ dài cạnh đáy là a. Biết rằng mặt phẳng P SB 2 qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB tại B với . Tính thể tích của khối chóp SB 3 S.ABCD a3 6 a3 6 a3 6 a3 6 A. . B. . C. . D. . 6 4 2 3 Câu 11. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 45. Thể tích của khối chóp đó là 4a3 2 a3 2 a3 2 A. . B. . C. . D. 2a3 2 . 3 8 6 Câu 12. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a 3 , khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng 3a . Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a3 3 A. a3 3 . B. 6a3 3 . C. 12a3 . D. . 3 Câu 13. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC , cạnh AB a và cạnh bên hợp với đáy một góc 45. Thể tích V của khối chóp là a3 a3 a3 a3 A. V . B. V . C. V . D. V . 12 6 3 4 16
17. Câu 14. Cho khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng: 2 2a3 8a3 8 2a3 4 2a3 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 15. (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a 2. Gọi I là trung điểm của BC, hình chiếu vuông   góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn IA 2IH, góc giữa SC và mặt phẳng ABC bằng 60. Thể tích khối chóp S.ABC bằng a3 5 a3 5 a3 15 a3 15 A. . B. . C. . D. . 2 6 6 12 7.1.3.2.3. Đáp án A. Bài tập tự luận Bài 1. HD 2 Xác định được diện tích mặt đáy SABCD AB.AD a.a 3 3a .Chiều cao SA a 3 . 1 1 Do đó tính được thể tích khối chóp V .S .SA a2 3.a 3 a3 . S.ABCD 3 ABCD 3 Bài 2. HD Gọi H là trung điểm AB. Xác định được S· CH 450 . SH  ABC 1 Tính được S AB.AC 2a2 3 . SH HC a 13 .Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: ABC 2 1 1 2a3 39 V SH.S a 13.2.a2 3 . S.ABC 3 ABC 3 3 Bài 3. HD Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AB,CD . SM  ABCD . AB 3 3a Tính được SM . Tính được thể tích khối chóp S.ABCD là: 2 2 1 1 3a 2 3a3 V .SM.S . . a 3 S.ABCD 3 ABCD 3 2 2 Bài 4. HD Ta chứng minh được SE  ADE . Tìm được 1 1 abc5 V . .AD.DE.SE . S.ADE 3 2 6 a2 b2 c2 a2 c2 Bài 5. HD 17
18. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC , khi đó B· ' BG 600 , B 'G  ABC . a 3 BC 2 9 9 3 Tính được B 'G , S a2 V a3 . 2 ABC 2 40 ABC.A'B'C ' 80 B. Bài tập trắc nghiệm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A A C A A C D D B A A C A 14 15 D C * Kết quả khi thực hiện giải pháp 1: Học sinh thành thạo trong việc tính thể tích các khối đa diện bằng phương pháp tính trực tiếp khi gặp các bài toán có dữ kiện đặc biệt để xác định được ngay chiều cao như: Cạnh bên vuông góc mặt đáy, mặt bên vuông góc mặt đáy, hai mặt bên cùng vuông góc mặt đáy và tính được diện tích mặt đáy khi là các hình đa giác cơ bản. 18
19. Hình ảnh thực hiện giải pháp 1. Tính thể tích bằng công thức trực tiếp 19
20. 7.1.3.3. Giải pháp 2: Tính thể tích bằng công thức tỉ số thể tích Lí thuyết chung Bài toán 1. (Bài 4 sgk HH12CB trang 25) Cho khối chóp S.ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A', B ',C 'khác V SA' SB ' SC ' điểm S . Chứng minh rằng: S.A'B'C ' . . (1) VS.ABC SA SB SC Lời giải Gọi H và H' lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và A' lên mặt phẳng SBC . Ta có AH / / A' H '. Ba điểm S, H, H 'cùng thuộc hai mặt phẳng AA' H ' H và SBC nên chúng thẳng hàng. Xét tam SA' A' H ' giác SAH ta có (*) do đó SA AH 1 A' H '.S V SB'C ' A' H ' SB '.SC '.sin B· 'SC ' S.A'B'C ' 3 . (**) Từ (*) và (*) V 1 AH · S.ABC .AH.S SB.SC.sin BSC 3 SBC ta được điều phải chứng minh. V SA' Trong công thức (1) đặc biệt hóa, cho B  B ',C  C 'ta được: S.A'B'C ' (2) Mặt khác ta VS.ABC SA SA' VA'.ABC SA' AA' có VS.ABC VS.A'BC VA'.ABC , do đó VS.ABC .VS.ABC VA'.ABC 1 SA VS.ABC SA SA V AA' Vậy A'.ABC . VS.ABC SA Chú ý: Công thức tỉ số thể tích (1) chỉ áp dụng cho trường hợp hai khối chóp tam giác có chung một đỉnh và các góc phẳng ở đỉnh đó, còn đối với các khối chóp khác nhìn chung là không đúng. Tổng quát hóa công thức (2) ta có bài toán sau: Bài toán 2. Cho khối chóp đỉnh S , đáy là một đa giác lồi A1 A2 A3...An n 3 , trên đoạn thẳng V A ' A SA lấy điểm A ' không trùng A . Khi đó ta có A1 '.A1.A2 ...An 1 1 (3) 1 1 1 V SA S.A1.A2 ...An 1 Ta có thể chứng minh công thức (3) bằng phương pháp quy nạp theo n, bằng cách chia khối chóp S.A1 A2 A3...An thành các khối chóp tam giác rồi áp dụng công thức (2). Chú ý: + Hai khối chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai đường cao tương ứng. + Hai khối chóp có cùng độ dài đường cao thì tỉ số thể tích bằng tỉ số hai diện tích đáy. 7.1.3.3.1. Ví dụ 20