Tài liệu ôn tập Toán 10 - Chủ đề 1: Phương trình và bất phương trình

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập Toán 10 - Chủ đề 1: Phương trình và bất phương trình

1. CHỦ ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản 1. Phương trình lượng giác cơ bản a) Phương trình sinxm 1 Với m 1, phương trình (1) vô nghiệm. Với m 1, gọi là số thực thuộc đoạn ; sao cho sinxm . 22 xk 2 Khi đó, ta có: sinx m sin x sin k . xk 2 Chú ý Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sinxm : - sinx 1 x k 2 k 2 - sinx 1 x k 2 k 2 - sinx 0 x k k Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sinxa sin nhu sau: x a k360 sinx sin a k x 180 a k 360 b) Phương trình cosxm 2 Với m 1, phương trình (2) vô nghiệm. Với m 1, gọi là số thực thuộc đoạn 0;  sao cho cos m . xk 2 Khi đó, ta có: cosx m cos x cos k . xk 2 Chú ý Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cosxm : ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 1
2. - cosx 1 x k 2 k - cosx 1 x k 2 k - cosx 0 x k k 2 Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thỉ ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cosxa cos 0 như sau: x a k360 cosx cos a k x a k360 c) Phương trình tanxm Gọi là số thực thuộc khoảng ; sao cho tanxm . Khi đó, ta có: 22 tanx m tan x tan x k k Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tanxa tan nhu sau: tanx tan a x a k 180 k d) Phương trinh cotxm Gọi là số thực thuộc đoạn 0; sao cho cotxm . Khi đó, ta có: cotx m cot x cot x k k Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cotxa cot 0 như sau: cotx cot x k 180 k Z . 2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản f x g x k2 sinf x sin g x k f x g x k2 f x g x k2 cosf x cos g x k f x g x k2 với phương trình có dạng: sin2ux sin 2 vx ,cos 2 ux cos 2 vx ,sin 2 ux cos 2 vx ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng cosf x cos g x . ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 2
3. - Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về phương trình dạng tích A x  B x 0 . II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT 1.Phương trình mũ Với aa 0, 1 thì: fx a b f x loga b với b 0; af x a g x f x g x . 2.Phương trình lôgarit Với aa 0, 1 thì: b loga f x b f x a . f x g x logaaf x log g x f x 0 hoac g x 0. 3.Bất phương trình mũ Với aa 0, 1 thì: a) Xét bất phương trình: abfx . Nếu b 0, tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của fx ; Nếu ba 0, 1 thì bất phương trình đưa về: f x loga b ; Nếu ba 0,0 1 thì bất phương trình đưa về: f x loga b . b) Xét bất phương trình: aaf x g x . Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về: f x g x ; Nếu 01 a thì bất phương trình đưa về: f x g x . Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự. 4. Bất phương trình lôgarit Với aa 0, 1 thì: a) Xét bất phương trình: loga f x b . Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về: f x ab ; Nếu 01 a thì bất phương trình đưa về: 0 f x ab . b) Xét bất phương trình: logaaf x log g x . Nếu a 1 thì bất phương trình đưa về: f x g x 0; Nếu 01 a thì bất phương trình đưa về: 0 f x g x . Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự. ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 3
4. B. MỘT SỐ VÍ DỤ ⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. 3 Ví dụ 1: [MĐ 2] Nghiệm của phương trình sin x là: 32 2 A. xk 2 và x k2 k . B. xk 2 và x k2 k . 3 3 3 5 C. xk 2 và x k2 k . D. xk 2 và x k2 k . 2 3 Lời giải 3 3 Do sin nên sin xx sin sin 32 3 2 3 3 xk 2 2 33 xk 2 3 k . Chọn A xk 2 xk 2 33 2 Ví dụ 2: [MĐ 2] Tổng các nghiệm của phương trình 3xx 2 81 là: A. 4 . B. 4. C. 2. D. 2 . Lời giải 22 3x 2 x 81 3 x 2 x 3 4 xx 2 2 4 0. Phương trình xx2 2 4 0 có hệ số ac, trái dấu nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và tổng hai nghiệm bằng 2 . Chọn D 1 Ví dụ 3: [MĐ 1] Nghiệm của phương trình log x 5 là: 16 2 A. 3. B. 1. C. 3. D. 27 . Lời giải 1 Ta có: x 5 162 . Suy ra x 1. Chọn B 2 Ví dụ 4: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình log22 x 4 log x 5 x 4 là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Lời giải Chọn C ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 4
5. 2 2 x 2 2 x 4 x 5 x 4 xx 6 8 0 log22 x 4 log x 5 x 4 x 4 . x 40 x 4 x 4 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. ⮲Dạng 2: Trắc nghiệm đúng -sai Trong mỗi ý a) b) c) d) ở mỗi câu thí sinh chọn đúng hoặc sai. 22 Ví dụ 5: Cho phương trình sin 2xx cos . 42 1 cos 4x 2 1 cos 2x a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình : . 22 b) Ta có : cos 2xx cos2 . c) Phương trình đã cho đưa về dạng : cos 4xx cos2 . 2 d) Nghiệm của phương trình đã cho là : xk và x k k Z 4 12 3 Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S Đ Đ S 1 cos 4x 2 1 cos 2x a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: . Suy ra sai 22 b) ( Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém ). Suy ra đúng 1 cos 4x 2 1 cos 2x c) cos 4x cos 2 x cos 4 x cos 2 x . 2 2 2 2 Suy ra đúng 4x 2 x k 2 xk 2 4 d) cos 4x cos 2 x k Z . Suy ra sai. 2 4x 2 x k 2 xk 2 12 3 x2 4 x 5 2 x Ví dụ 6: Cho bất phương trình 3 2 2 3 2 2 . 1 a) Ta có : 3 2 2 3 2 2 . b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình : x2 4 x 2 x 5 . c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 5. ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 5
6. d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 9. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S S Đ 1 1 a) 3223221322 322 322 . Suy ra đúng 3 2 2 x22 4 x 5 2 x x 4 x 2 x 5 b) 322 322 322 322 x2 425 x x . Suy ra sai c) x22 4 x 2 x 5 x 6 x 5 0 1 x 5 Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên là 2 ; 3 ; 4. Suy ra sai d) Tổng các nghiệm nguyên là 2 3 4 9 . Suy ra đúng Ví dụ 7: Cho bất phương trình log 2xx2 2 log 5 5 . 2 1 2 1 a) Ta có : 0 2 1 1. 2xx2 2 5 5 b) Bất phương trình đã cho tương đương với: . 5x 5 0 c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2. d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 0. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ S a) Ta có : . Suy ra đúng 2xx2 2 5 5 b) log 2xx2 2 log 5 5 . Suy ra sai 2 1 2 1 2 2x 2 0 2x22 2 5 x 5 2 x 5 x 7 0 7 c) 1 x . 22 2xx 2 0 2 2 0 2 Vậy bất phương trình có hai nghiệm nguyên là 2 và 3. Suy ra đúng. d) Nghiệm nguyên nhỏ nhất là 2. Suy ra sai ⮲Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Ví dụ 8: Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h m của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày cho bởi công thức ht 16 7sin với 0 t 24 12 Tìm thời điểm mà mực nước tại cảng là cao nhất. Lời giải ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 6
7. Do 1 sin t 1 nên 16 7 16 7sin t 16 7 hay 9 h 23. 12 12 Vậy mực nước tại cảng cao nhất bằng 23m khi sin t 1 t k 2 t 6 24 k k . 12 12 2 Mà 0 t 24 nên t 6. Thời điểm mà mực nước tại cảng cao nhất là t 6 (giờ). TS Ví dụ 9: Công thức Định luật làm mát của Newton được cho như sau: kt ln trong đó t là số giờ TS0 trôi qua, T0 là nhiệt độ lúc đầu, T là nhiệt độ sau t giờ, S là nhiệt độ môi trường (TTS0 ,, theo cùng một đơn vị đo), k là một hằng số. Một cốc trà có nhiệt độ 96 C, sau 2 phút nhiệt độ giảm còn 90 C. Biết nhiệt độ phòng là 24 C. Tính nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải 1 1 90 24 11 Thay t 2 phút giờ, TTS 96, 90, 24 ta có k ln . Do đó k 30ln . 30 0 30 96 24 12 5 1 1T 24 11T 24 T 24 11 Sau 10 phút giờ, ta có k ln hay 5ln ln . Do đó . 6 6 96 24 12 72 72 12 5 11 Suy ra T 72. 24 70,6  C . 12 Vậy nhiệt độ của cốc trà sau 10 phút khoảng 70,6  C . C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP ⮲Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu thí sinh chỉ chọn một phương án. Câu 1. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình sin x 0 là: 5 π 2π A. xk πk . B. xk πk . 5 5 π π C. xk 2πk . D. xk πk . 5 5 Lời giải Chọn D Ta có sin x 0 x k x k k , hay . 5 5 5 Câu 2. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình 2sin3x 2 0 là: ππ2 32 ππ2 52 A. xk và x k k . B. xk và x k k . 12 3 12 3 12 3 12 3 2 ππ2 C. và x k k . D. xk và . 12 3 12 3 ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 7
8. Lời giải Chọn B Ta có 2 2sin 3x 2 0 sin 3 x sin 3 x sin 24 2 32xk xk 4 12 3 k 5 5 2 32x k x k 4 12 3 1 Câu 3. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình cos x là: 62 π π A. xk 2π và x k2 k . B. xk 2π và x k2 k . 6 2 6 2 π C. xk 2π và x k2 k . D. xk π và x k k . 3 6 2 Lời giải Chọn A Ta có xk 2 xk 2 1 63 6 cos x cos x cos k 6 2 6 3 xk 2 xk 2 63 2 Câu 4. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình sin2 2x 1 là: A. x k k . B. x k k . 42 2 C. x k k . D. x k k . 2 82 Lời giải sin2 2x 1 1 cos 2 2 x 1 cos 2 2 x 0 cos 2 x 0 . 2x k x k 2 4 2 Câu 5. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình tan x 3 là: 3 2 A. x k2 k . B. x k k . 3 2 2 C. x k k . D. x k k . 3 3 ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 8
9. Lời giải 2 tan x 3 x k x k 3 3 3 3 Câu 6. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình cot 3x 1 là: 4 A. x k k . B. x k k . 6 63 C. x k k . D. x k k . 66 62 Lời giải 3 cot 3x 1 3 x k 3 x k x k 4 4 4 2 6 3 Hoặc: cot 3x 1 3 x l 3 x l 4 4 4 2 x l l 1 k 6 3 6 3 3 6 3 Câu 7. [MĐ2] Các nghiệm của phương trình sinxx 3 cos 0 là: A. . B. x k k . 3 C. x k k . D. x k k . 6 3 Lời giải sinx 3 cos x 0 sin x 3 cos x tan x 3 x k 3 1 Câu 8. [MĐ2] Các góc lượng giác x sao cho cos x 15  là: 2 A. xk 165  360  và x 135  k 360  k . B. xk 165  180  và x 135  k .180  k . C. xk 135  360  và x 105  k 360  k . D. xk 135  180  và x 105  k 180  k . Lời giải 1 x 15  120  k 360  x 135  k 360  cos x 15  2 x  15 120  k 360  x 105  k 360  ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 9
10. Câu 9. [MĐ2] Các góc lượng giác sao cho tan 2x 27  tan35  là: A. x 4  k 180  k B. x 4  k 180  k C. x 4  k 90  k D. x 4  k 90  k . Lời giải tan 2x  27 tan35  2 x   27 35 k 180   x 4 k 90  Câu 10: [MĐ2] Các góc lượng giác sao cho sin 2xx sin 360 là: A. xk 12  120  và x 144  k 360  k . B. và x 48  k 120  k . C. xk 12  360  và x 144  k 120  k . D. xk 35  360  và x 144  k 360  k . Lời giải 00 2x 36 x k 360 xk 1200 120 sin 2xx sin 360 0 0 0 00 2x 180 36 x k 360 xk 144 360 39 Câu 11: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình cosx 1 trên khoảng ; là: 42 A. 1. B. 2. C. 4. D. 3. Lời giải cosx 1 x k 2 k 3 9 3 9 3 9 Giả thiết x ;2 k k 4 2 4 2 8 4 x Mà k nên chọn k 0;1;2. Vậy phương trình có 3 nghiệm thỏa bài toán. 1 55 Câu 12: [MĐ3] Số nghiệm của phương trình sin x trên khoảng ; là: 3 22 A. 2. B. 5. C. D. Lời giải 1 sin 3 Cách 1: Tồn tại một giá trị 0; sao cho . 2 1 xk 2 Phương trình sinxx sin sin với km, 3 xm 2 ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 10
11. 55 Vì x ; nên 22 5 5 5 5 5 kk2 3 2 2 2 2 2 2 5 5 7 5 5 mm2 2 2 2 2 2 2 2 35 k 24 với km, . 7 k 1 4 Suy ra: k 1;0;1; m 1;0. Vậy có 5 nghiệm thỏa bài toán. Cách 2: Dùng đường tròn lượng giác: 1 Trên hai vòng đường tròn x  2 ;2  phương trình sin x có 4 nghiệm. 3 1 5 1 Trên vòng đường tròn x 2; phương trình sin x có 1 nghiệm 4 2 3 5 1 Trên vòng đường tròn x ;2 phương trình sin x vô nghiệm 2 3 1 55 Vậy phương trình sin x có 5 nghiệm trên ; 3 22 Câu 13: [MĐ2] Các nghiệm của phương trình cos22xx sin 0 là: A. x k k . B. x k k . 42 4 C. x k k . D. x k k . 2 4 Lời giải ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 11
12. cos22x sin x 0 cos 2 x 0 2 x k x k . 2 4 2 Câu 14: [MĐ2] Các nghiệm của phương trình cos 2xx cos6 là: 2 2 A. xk 2 và x k2 k . 3 B. xk 2 và x k2 k . 3 3 C. xk 2 và . D. xk và x k k . 82 16 4 Lời giải 2x 6 x k 2 xk 2 82 cos 2xx cos6 . 2 2x 6 x k 2 x k 2 16 4 x 34 Câu 15: [MĐ1] Nghiệm của phương trình là: 29 A. x 2. B. x 2 . C. x 2 . D. x 2. Lời giải xx 2 3 4 3 3 x 2 . 2 9 2 2 2 Câu 16: [MĐ2] Nghiệm của phương trình 24xx là: A. x 1 và x 2. B. x 0 và x 1. C. x 1và x 2. D. x 0 và x 2 Lời giải x22 x x x 22 x 1 2 4 2 2 xx 2 . x 2 2 Câu 17: [MĐ2] Tổng các nghiệm của phương trình 5xx 3 10 là : A. 3. B. log5 10 . C. 3 . D. log5 10 . Lời giải 22 x 3 x x 3 x log5 10 2 5 10 5 5 xx 3 log5 10 2 xx 3 log5 10 0 có ac 1; log5 10 0 phương trình có hai nghiệm trái dấu. ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 12
13. Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 3 . 32 x 1 x 3 Câu 18: [MĐ2] Nghiệm của phương trình 5 là 25 A. x 3. B. x 5. C. x 5. D. x 3. Lời giải 32 x 1 xx 33 2 3 2x 5 5 5 6 4x x 3 x 3. 25 2 1 Câu 19: [MĐ2] Nghiệm của phương trình log27 x 1 là 3 A. x 2. B. x 10 . C. x 2 . D. x 10 . Lời giải 2 x 1 Điều kiện: x 10 . x 1 1 221 3 2 log27 xx 1 log 27 1 log 27 27 xx 1 3 2 . 3 Kết hợp điều kiện: nghiệm của phương trình là x 2. 2 Câu 20: [MĐ2] Tích các nghiệm của phương trình log2 xx 2 3 là : A. 8 . B. 6 . C. 8. D. 6. Lời giải 2 x 0 Điều kiện: xx 20 . x 2 2 232 log2 xx 2 3 log22 xx 2 log 2 xx 28 (thỏa điều kiện) xx2 2 8 0 luôn có hai nghiệm trái dấu. Tích các nghiệm là 8. 2 Câu 21: [MĐ2] Số nghiệm của phương trình log77 x 2 x log 3 x 6 là: A. 2 . B. 0 . C. 3 . D. 1. Lời giải xx2 20 Điều kiện x 2. 3x 6 0 2 2 2 x 2 log77 x 2 x log 3 x 6 x 2 x 3 x 6 xx 5 6 0 . x 3 Kết hợp với điều kiện: x 3 là nghiệm. Câu 22: [MĐ2] Nghiệm của bất phương trình 0,5 x 3 là: ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 13
14. A. x log0,5 3 . B. x log0,5 3. C. x log3 0,5 . D. x log3 0,5 . Lời giải xxlog0,5 3 0,5 3 0,5 0,5 x log0,5 3. 2 Câu 23: [MĐ2] Tập nghiệm của bất phương trình 0,2 x 1 là: A.  . B. \0 . C. 0; . D. . Lời giải 22 0,2 xx 1 0,2 0,2 0 x2 0 x  . 2xx 1 5 Câu 24: [MĐ3] Tập nghiệm của bất phương trình 2 3 2 3 là: A. 2; . B. 4; . C. ;2 . D. ;4 . Lời giải 21x 2x 1 x 5 1 x 5 2 3 2 3 2 3 23 2xx 1 5 2 3 2 3 2x 1 x 5 x 2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ;2 . Câu 25: [MĐ3] Tập nghiệm của bất phương trình log1 2x 6 2 là 2 A. 3;5 . B. ;5 . C. 3; D. 5; . Lời giải Điều kiện: 2xx 6 0 3 . 2 1 log1 2x 6 2 log 1 2 x 6 log 1 2 x 6 4 x 5 . 2 2 2 2 Kết hợp điều kiện: tập nghiệm của bất phương trình là 5; . 2 Câu 26: [MĐ3] Số nghiệm nguyên của bất phương trình log5 2xx 3 log 25 là: A. 1. B. 2 . C. 0 . D. vô số. Lời giải 2x 3 0 3 x Điều kiện: 2 . x 0 2 1 log 2x 3 log x2 log 2 x 3 .2.log x 5 25 52 5 ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 14
15. 2x 3 x x 3. 3 Kết hợp điều kiện: tập nghiệm của bất phương trình là ;3 . 2 Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 1. Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. 22 Câu 27: [MĐ3] Cho phương trình cos xx sin 3 . 24 1 cos 6x 1 cos 2x 2 a) Hạ bậc hai vế, ta được phương trình: . 22 b) Ta có: cos 2xx cos2 . c) Phương trình đã cho đưa về dạng: cos2xx cos6 . d) Nghiệm của phương trình đã cho là: x k() k . 4 Lời giải Ta có: cos 2x cos 6 x cos 2 x cos 6 x 22 2x 6 x k 2 xk 2 82 (k ). 3 2x 6 x k 2 x k 2 16 4 Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S Câu 28: [MĐ3] Cho phương trình cos2xx sin với x 0;  . 4 a) Ta có: cos2xx sin 2 . 2 b) Phương trình sin 2xx sin có các nghiệm là: xk 2 và 24 4 5 x k2 ( k ) . 4 c) Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn 0; . 5 d) Tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên đoạn là . 6 Lời giải ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 15
16. Do cos2xx sin 2 nên phương trình đưa về dạng sin 2xx sin 2 24 22x x k xk 2 24 4 ()k . 2 22x x k xk 24 12 3 7 Do x 0;  nên x và x . Tổng các nghiệm của phương trình cos2xx sin 4 12 4 75 trên đoạn 0;  là . 4 12 6 Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ Câu 29: [MĐ3] Cho phương trình: sin4x sin2 x cos4 x cos2 x. a) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế trái của phương trình đưa về dạng: sin3xx cos . b) Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, vế phải của phương trình đưa về dạng: cos3xx cos . c) Nghiệm của phương trình đã cho là nghiệm của phương trình cosx 0 và phương trình sin3xx cos3 . d) Nghiệm của phương trình đã cho là: xk 2 và x k() k . 12 3 Lời giải Dùng công thức biến đổi tổng thành tích, phương trình đưa về dạng: 2sin3x cos x 2cos3 x cos x cos x sin3 x cos3 x 0 cosx 0 hoặc sin3xx cos3 0. Với cosx 0 x k ( k ) . 2 Với sin3x cos3 x 0 sin3 x cos3 x . + Nếu cos3x 0 thì phương trình đưa về dạng: sin3x 0 (vô lí). + Với cos3x 0 , phương trình đưa về dạng: tan3x 1 3 x k x k ( k Z ). 4 12 3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: xk và x k() k . 2 12 3 Đáp án: a) S, b) S, c) Đ, d) Đ ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 16
17. Câu 30: [MĐ3] Hàng ngày mực nước tại một cảng biển lên xuống theo thủy chiều. Chiều cao hm của mực nước theo thời gian t (giờ) trong một ngày được cho bởi công thức ht 14 8sin với 0 t 24. 12 a) Lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước biển là cao nhất b) Chiều cao của mực nước biển thấp nhất vào lúc 12 giờ c) Mực nước tại bến cảng cao 18 m vào lúc 2 giờ 10 phút d) Biết tàu chỉ vào được cảng khi mực nước trong cảng không thấp hơn 18 m. Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ 10 giờ sáng hôm trước đến 2 giờ sáng hôm sau. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ S Đ S + Do 1 sin t 1 nên 14 8 14 8sin t 14 8 12 12 Hay 6 h 22. Vậy chiều cao của mực nước tại bến cảng cao nhất bằng 22m . Khi sin t 1 t k 2 t 6 24 k k . 12 12 2 Mà 0 t 24 nên t 6. Vậy lúc 6 giờ sáng thì chiều cao của mực nước biển là cao nhất + Chiều cao của mực nước biển tại bến cảng thấp nhất bằng 6m khi sin t 1 t k 2 t 6 24 k k . 12 12 2 Mà nên t 18 . Vậy lúc 18 giờ thì chiều cao của mực nước biển là thấp nhất. 1 Xét phương trình: 14 8sin tt 18 sin 12 12 2 tk 2 12 6 tk 2 24 k . 5 tk 10 24 tk 2 12 6 Mà nên t 2;10. + Trong khoảng thời gian từ 2 giờ đến 10 giờ, mực nước tại bến cảng lớn hơn hoặc bằng 18m . Vậy thời gian tàu vào được cảng là từ giờ đến giờ. ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 17
18. Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S. xx 2 x2 5 1 Câu 31: [MĐ3] Cho bất phương trình 4 8 1 a) Ta có: 4 223 ; 2 . 8 b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình 2 x22 50 3 x x c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6. d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 4. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S S Ta có: xx 2 22 x2 5 1 2 x 5 3 x x 2 2 2 4 22 253 x x x x 310025 x x 8 Vậy phương trình có 8 nghiệm nguyên. Tích nghiệm lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là 10. Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S. 2 Câu 32: [MĐ3] Cho bất phương trình log1 xx 7 18 2. 32 1 a) Ta có: 0 1. 32 b) Bất phương trình đã cho là nghiệm của bất phương trình 2 2 1 xx 7 18 32 c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 2. d) Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 14. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả Đ Đ S Đ x 0 xx2 7 18 18 Ta có: log xx2 7 18 2 x 7 1 2 32 xx 7 18 0 2 x 9. Vậy bất phương trình có nghiệm là: 20 x hoặc 7 x 9. ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 18
19. Bất phương trình có 4 nghiệm nguyên là 1;0;7;8 và tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình là 14. Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) Đ. I Câu 33. [MĐ3] Mức cường độ âm L ( đơn vị dB) được tính bởi công thức L 10log , trong đó I ( 10 12 đơn vị: W/m2 ) là cường độ của âm (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage). Một người đứng giữa hai loa A và B. Khi loa A bật thì người đó nghe được âm có mức cường độ 80 dB. Khi loa B bật thì nghe được âm có mức cường độ 90 dB. Nếu bật cả hai loa thì cường độ âm tác động vào tai người bằng tổng cường độ âm của hai loa đó. a) Cường độ âm của loa A là 1080 .10 12 (W /m 2 ) . b) Cường độ âm của loa B là 1090 .10 12 (W /m 2 ) . c) Cường độ âm tác động vào tai người khi bật cả hai loa là 10170 .10 12 (W /m 2 ) . d) Nếu bật cả hai loa thì người đó nghe được âm có mức cường độ là 90,4 dB. Lời giải Ý a) b) c) d) Kết quả S S S Đ Đặt LL12 80( dB), 90( dB) . II12, lần lượt là cường độ âm của loa A và loa B . Ta có: I L1 LI 10log1 1010  10 12 10 8  10 12 . 1110 12 I L2 LI 10log2 1010  10 12 10 9  10 12 2210 12 8 9 12 Do đó, II12 10 10  10 . II12 89 Vậy: L 10log 12 10  log 10 10 90,4( dB) . 10 Dạng 3: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Câu 34. [MĐ4] Mức cường Hội Lim ( tỉnh Bắc Ninh) vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 1). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m) từ người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) ( với t 0 ) bởi hệ thức hd với dt 3cos 2 1 , 3 trong đó ta quy ước d 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage). Tìm thời điểm đầu tiên mà khoảng cách h là lớn nhất. (Viết kết quả dưới dạng số thập phân). ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 19
20. Lời giải Trả lời: t 0,5 s Do 1 cos (2t 1) 1 nên 3 3cos (2t 1) 3 hay 33 d . 3 3 Do đó, 0 |d | 3. Vậy h lớn nhất bằng 3 khi |d | 3 hay 13 k cos (2t 1) 1 sin (2 t 1) 0 (2 t 1) k t với k 3 3 3 2 Thời điểm đầu tiên mà khoảng cách h lớn nhất là (ứng với k 0 ). x Câu 35. [MĐ4] Một cây cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số y 4,8cos và được mô tả trong hệ 9 trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hinh vẽ. Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông. Hỏi chiều rộng của khối hàng hoá đó lớn nhất là bao nhiêu mét đề sà lan có thể đi qua được gầm cầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Lời giải Trả lời: 13 Với mỗi điểm M x; y nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ của điểm . xx3 Xét phương trình: 4,8cos 3,6 cos 9 9 4 99 x Do x ; nên ; 22 9 2 2 ≫ TÀI LIỆU ÔN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 20