Tài liệu ôn tập Toán 10 - Chủ đề 2: Cấp số cộng và cấp số nhân

Nội dung tài liệu: Tài liệu ôn tập Toán 10 - Chủ đề 2: Cấp số cộng và cấp số nhân

1. CHỦ ĐỀ 2: CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa Dãy số ( un ) là cấp số cơng nếu unn u 1 d với n 2, d là số khơng đổi. Số d gọi là cơng sai của cấp số cơng, d unn u 1 vơi n 2 . Nếu d 0 thì câp số cộng là một dãy số khơng đồi. 2. Số hạng tổng quát Cho cấp số cộng un cĩ số hạng đầu u1 và cơng sai d , ta cĩ: un u1 n 1 d với n 2. 3. Tổng n số hạng đầu Cho cấp số cộng un cĩ số hạng đầu và cơng sai . Đặt Snn u12 u  u , ta cĩ: u u n 21u1 n d n S 1 n hoặc S . n 2 n 2 II. CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa Dãy số un là cấp số nhân nếu unn u 1. q với n 2, q là số khơng đổi. * Số q gọi là cơng bội của cấp số nhân. Nếu un 0 với mọi n thì u q n với n 2. un 1 Nếu q 1 thì cấp số nhân là một dãy số khơng đổi. 2. Số hạng tổng quát Cho cấp số nhân un cĩ số hạng đầu u1 và cơng bội q , ta cĩ: n 1 un u1. q với n 2 . 3. Tổng n số hạng đầu Cho cấp số nhân un cĩ số hạng đầu và cơng bội qq 1 . Đặt Snn u12 u  u , ta cĩ: n uq1 1 S . n 1 q ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 1
2. B. MỘT SỐ VÍ DỤ Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thi sinh chi chọn mơt phương án. Ví dụ 1. Trong các dãy số với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? n n 2 A. un 5 . B. unn 25. C. un 52. D. unn 5 . Lời giải Chọn B Ở đáp án B, ta cĩ: unn u 1 2 5 n 2 5 n 1 5 với mọi n 2 . Vậy dãy số un đã cho là một cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 3 và cơng sai d 5. Ở đáp án A , ba số hạng đầu của dãy số là: 5;25;125 nên dãy số cho ở đáp án khơng là cấp số cộng. Tương tự, dãy số cho ở đáp án C,D cũng khơng là cấp số cộng. Ví dụ 2. Cho cấp số cơng biết uu57 19 . Giá trị của uu2 10 là: A. 38. B. 29 . C. 12. D. 19. Lời giải Chọn D Áp dụng cơng thức của số hạng tổng quát, ta cĩ: u5 u 7 u 1 4 d u 1 6 d 2 u 1 10 d 19. Khi đĩ, u2 u 10 u 1 d u 1 9 d 2 u 1 10 d 19 . Ví dụ 3. Cho cấp số nhân un cĩ cơng bội q 1 với u2 3 và u1 u 2 u 3 13. Số hạng đầu u1 và cơng bội q của cấp số nhân đĩ là: A. uq1 1, 3. B. uq1 1, 3 . C. uq1 1, 3 . D. uq1 1, 3 . Lời giải Chọn C uq1. 3 Từ giả thiết, ta cĩ: u. 1 q q2 1 3 . 1 q 3 1 qq2 13 Từ đĩ, suy ra: 3qq2 10 3 0 1 q 3 q . 3 Mà q 1 nên q u3n. Thay q 3 vào phương trình uq1  3, ta được u1 1. Vậy cấp số nhân đĩ cĩ số hạng đầu u1 1 và cơng bội q 3. Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 2
3. 2 Ví dụ 4. Cho dãy số un cĩ tổng n số hạng đầu được tính bởi cơng thức Sn 24 n n . a) Số hạng đầu u1 2 , số hạng thứ hai u2 2 . b) Với thì Snn S 1 46 n . c) Dãy số un là một cấp số cộng cĩ cơng sai là 6. d) Tổng u2 u 4 u 6  u 100 là 5000 . Lời giải + Ta cĩ: S1 u 1 2; S 2 u 1 u 2 0 . Do đĩ, u2 S 2 S 1 2 . n 2 + Với thì 22 . Snn S 1 2 n 4 n 2( n 1) 4 n 1 4 n 6 u S S 46 n * n n n 1 . Do đĩ, unn u 1 4 n 6 4 n 1 6 4 với n , . Vậy un là một cấp số cộng cĩ cơng sai là 4 . + Các số u2,,,, u 4 u 6 u 100 lập thành cấp số cộng cĩ số hạng đầu , cơng sai d 2 d 8, u100 4.100 6 394 . Ta cĩ, u2 u 4 u 6  u 100 là tổng của 50 số hạng. uu .50 Vâyy u u u  u 2 100 9900 . 2 4 6 100 2 Đáp án: a) Đ, b) Đ, c) S, d) S . * Ví dụ 5. Cho dãy số , biết u11 8, unn 4 u 9 với n . Đặt vunn 3 với . a) v1 5 . b) Dãy số vn là một cấp số nhân cĩ cơng bội q 3. n * n 1 c) Cơng thức của số hạng tổng quát vn là vn 5.( 3) . n 1 d) Cơng thức của số hạng tổng quát un là un 3 5  ( 3) . Lời giải + Ta cĩ: vu11 3 8 3 5 * + vn 11 u n 3 4 u n 9 3 4 u n 12 4( u n 3) 4 v n với mọi n . Vậy dãy số vn là một cấp số nhân cĩ số hạng đầu v1 5 , cơng bội q1 4 . nn 11 + vn 5.4 ; u n 3 v n 3 5.4 Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S. Dạng 3. Câu trắc u nnghiệm trả lời ngắn Vỉ dụ 6. Khi kí kết hợp đồng với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu đồng. ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 3
4. Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu đồng. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu đồng. Tìm n (với n * ) để từ năm thứ trở đi thì tổng số tiền lương nhận được trong năm đi làm ở phương án thứ hai sẽ nhiều hơn ở phương án thứ nhất? Lời Giải Ở phương án trả lương thứ nhất, số tiền lương mỗi năm người lao động nhận được lập thành cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 120 triệu đồng, cơng sai d 18 triệu đồng. Ở phương án trả lương thứ hai, số tiền lương mỗi quý người lao động nhận được lập thành cấp số cộng cĩ số hạng đầu v1 24 triệu đồng, cơng sai d ' 1,8 triệu đồng. Tổng số tiền lương người lao động nhận được trong năm ở phương án thứ nhất là tổng số hạng đầu của cấp số cộng và bằng: 2.120 (nn 1).18 . S 9 n2 111 n (triệu đồng). n 2 Do 1 năm cĩ 4 quý nên tổng số tiền lương người lao động nhận đựợc trong năm ở phương án thứ hai là tổng 4n số hạng đầu của cấp số cộng và bằng: 2.24 (4nn 1).1,8 .4 S'2 14,4 n 92,4 n (triệu đồng). 4n 2 31 Xét bất phương trình: 14,4n22 92,4 n 9 n 111 n n 3,44 9 Vậy từ năm thứ trở đi thì tổng số tiền lương nhận được trong các năm đi làm ở phương án thứ hai sẽ nhiều hơn ở phương án thứ nhất. Ví dụ 7. Cho hình vuơng C1 cĩ cạnh bằng . Gọi C2 là hình vuơng cĩ các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuơng ; C3 là hình vuơng cĩ các đỉnh là trung điểm các cạnh của hình vuơng ;... Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta được dãy các hình vuơngCCCC1; 2 ; 3 ;...n ;... Diện tích của hình vuơng C2025 cĩ dạng 1 . Tìm a. 2a Lời Giải Gọi un là cạnh của hình vuơng Cn . 1 2 1 2 Ta cĩ: u 1; u .2 u u .; u .2 u u .;... 1 22 1 1 2 3 2 2 2 2 2 Cứ như vậy, dãy số u lập thành cấp số nhân cĩ số hạnh đầu u1 1, cơng bội q . n 2 2024 2 Do đĩ, u nên diện tích hình vuơng là: 2025 2 1 u2 . Vậy a 2024 . 2025 22024 C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án. ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 4
5. Câu 1. (MĐ1)Trong các dãy số sau, dãy số nào khơng là cấp số cộng? 1 1 3 5 7 A. 2;0; 2; 4; 5 . B. ;;;; . 22222 C. 2; 2; 2; 2; 2 . D. 7; 4; 1;2;5. Lời giải Chọn A Xét ta cĩ 0 2 2 0 4 2 5 4 Câu 2. (MĐ2)Trong các dãy số un với số hạng tổng quát sau, dãy nào là cấp số cộng? n n 3 A. un 3.2 . B. unn 3 2 . C. un 2 3. D. unn 2. Lời giải Chọn B n n 11 n n Ta cĩ un 3.2 ; u n 11 3.2 u n u n 3.2 3.2 khơng là cấp số cộng Ta cĩ un 32; n u n 11 32(1) n u n u n 32(1)32 n n 2 là cấp số cộng Câu 3. (MĐ2)Cho cấp số cộng biết uu37 2; 18. Số hạng u11 bằng: A.38. B. 20 . C. 43. D. 33 . Lời giải Chọn A u3 2 ud1 22 u1 12 Ta cĩ: . Số hạng u11 u 1 10 d 12 10.5 38 . u71 18 u 6 d 18 d 5 Câu 4. (MĐ3)Cho là cấp số cộng cĩ uu4 16 48.Số hạng u10 bằng: A. 48 . B. 24 . C. 96 . D. 72 . Lời giải Chọn B Ta cĩ: u4 u 16 48 u 1 3 d u 1 15 d 48 2 u 1 18 d 48 u1 9 d 24 u 10 24 . Câu 5. (MĐ3)Cho là cấp số cộng cĩ uu92 5 và uu13 25 6 . Số hạng đầu u1 và cơng sai d của cấp số cộng đĩ là: A. ud1 3; 4. B. ud1 3; 4. C. ud1 4; 3. D. ud1 4; 3. Lời giải Chọn B uu92 5 u11 85 d u d 4ud1 3 0 u1 3 Ta cĩ: . u 2 u 5 u 2 d 5 d 4 13 6 u11 12 d 2 u 5 d 5 1 1 Câu 6. (MĐ3)Một cấp số cộng cĩ số hạng đầu u , cơng sai d 1. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp 1 3 số cộng đĩ bằng 425. Giá trị của bằng: A. 30. B. 60 . C. 45 . D. 15. Lời giải Chọn A ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 5
6. 1 2. nn 1 1 21u1 n d n 3 Ta cĩ: S 425 n 22 n 30 552 n n 850 n n 850 0 85 . 33 n loại 3 Câu 7. (MĐ3)Cho ()un là cấp sổ cộng cĩ uu29 15 . Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ bằng: A.150. B. 75. C. 120. D. 90 . Lời giải Chọn B 2ud1 10 1 10 Ta cĩ: u2 u 9 15 2 u 1 9 d 15. Mà S 5 2u 9d 5.15 75. 10 2 1 Câu 8. (MĐ3)Cho là cấp số cộng. Gọi Sn là tổng n số hạng đầu của cấp số đĩ. Biết SS10 365; 15 435. Cơng thức của số hạng tổng quát un là: A.unn 50 3 . B. unn 53 3 . C. unn 50 3 . D. unn 53 3 . Lời giải Chọn D 2ud1 10 1 10 S10 365 2 2ud1 9 73 u1 50 Ta cĩ: . Vậy cơng thức của số 2ud 14 58 d 3 2ud1 15 1 15 1 S 435 15 2 hạng tổng quát là un u1 n 1 d 50 n 1 3 53 3 n . n 1 1 Câu 9. (MĐ1)Cho dãy số ()un với un 3 là cấp số cộng. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2 A. un khơng phải là cấp số nhân. 1 B. là cấp số nhân cĩ số hạng đầu u 3cơng bội q . 1 2 3 C. là cấp số nhân cĩ số hạng đầu u cơng bội . 1 4 3 D. là cấp số nhân cĩ số hạng đầu u cơng bội . 1 2 Lời giải Chọn C 33 n 1 uu ; 1 1248 Ta cĩ: u 3 . n u 1 2 d 2 u1 2 Câu 10. (MĐ3)Trong các dãy số với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân? 1 1 1 1 A.u 1. B. un 1. C. u . D. u . n 5n n 5 n 5n 1 n 51n Lời giải Chọn C ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 6
7. 1 1 1 1u n 1 Ta cĩ: uu n 1 5 . nnn 1 1 n 1 1 n 1 5 5 5un 5 5n 1 1 1 Câu 11 (MĐ3)Cho cấp số nhân cĩ u 1 và cơng bội q . Số là số hạng thứ mấy của 1 10 102024 cấp số nhân? A. Số hạng thứ 2024 . B. Số hạng thứ 2025 . C. Số hạng thứ 2023. D. Số hạng thứ 2026 . Lời giải Chọn B n 1 11 n uq1 1 1 10 Ta cĩ: Sn 2025. n 1 q 102024 1 1 10 1 Câu 12. (MĐ3)Cho cấp số nhân cĩ uu ;9 . Cơng bội q của cấp số nhân là: 143 1 1 A. . B. . C. 3. D. 3 . 3 3 Lời giải Chọn C 1 3 Ta cĩ: u u. q4 1 9 . q 3 9 q 3 27 3 q 3. 41 3 1 * Câu 13. (MĐ3)Cho dãy số u biết u1 2 và uu  với n N . Số hạng tổng quát của dãy số là: n nn2 1 1 1 1 1 A. u . B. u . C. u . D. u . n 2n 2 n 2n 1 n 2n n 2n 1 un Lời giải Chọn A 1 1 1 1 1 uu24u3 1 Ta cĩ u2  u12 1; u 3  u; u 4  u 3 ;... Vì ... . Nên là cấp 222 2 4 u1 u 2 u 3 2 1 số nhân cĩ và q . Số hạng tổng quát của dãy số là: 2 nn 1 1 1 n 1 1 1 1 1 un u1. q 2. . n 2 . 2 2 2 2 Câu 14. (MĐ3)Cho cấp số nhân biết uu25. 243 . Tích uu34. bằng: A. 81. B. 243. C. 81. D. 243. Lời giải Chọn B 452 2 32 3 Ta cĩ u2...u 5 243 u11q u q 243 u 1 q 243. Mà u34. u u1qq . u1 u1 .q 243. Câu 15. (MĐ2)Cho là cấp số nhân cĩ số hạng đầu u1 3, cơng bội q 2 . Tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân đĩ là: ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 7
8. A. 1023. B. 1025. C. 1025 . D. 1023. Lời giải Chọn A 10 n 10 3. 1 2 u11 11 q u q Ta cĩ SS 1023 . n 1 qq10 1 1 2 Câu 16. (MĐ3)Bốn gĩc của một tứ giác tạo thành cấp số nhân và gĩc lớn nhất gấp 27 lần gĩc nhỏ nhất. Tổng của gĩc lớn nhất và gĩc nhỏ nhất bằng: A. 243 . B. 252 . C. 102 . D. 168 . Lời giải Chọn B Gọi u1; u2 ; u 3 ; u 4 u 1 0 lần lượt là số đo bốn gĩc của tứ giác tạo thành cấp số nhân và u4 là 23 u1 u2 u 3 u 4 360 u1 u 1q u 1qq u 1 360 gĩc cĩ số đo lớn nhất. Theo đề bài, ta cĩ: u 27u 3 41 uu1q 27 1 qq 33     . Vậy bốn gĩc của tứ giác là 9 ;27 ;81;243. u1 3 u 1 9 u 1 27 u 1 360 u 1 9 Tổng của gĩc lớn nhất và gĩc nhỏ nhất bằng . Dạng 2. Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai. 2 3 17. Cho dãy số un cĩ tổng n số hạng đầu được tính bởi cơng thức Sn n n . un 2 1 a) Ta cĩ: SS ;1 . 122 b) Số hạng thứ hai của dãy số là u2 1. 5 c) Số hạng tổng quát của dãy số là un 2 . n 2 d) Dãy số là một cấp số cộng cĩ cơng sai là 2 . Lời giải 1 3 + Ta cĩ: S u ;1 S u u . Do đĩ, u S u . 1 12 2 1 2 2 2 1 2 5 15 5 + Với n 2 thì u S S 2 n . Mà u 2.1 nên un 2 với n * . n n n 1 2 1 22 n 2 55 * + Ta cĩ: unn u 1 2 n 2( n 1) 2 với nn N , 2 . 22 Vậy un là một cấp số cộng cĩ cơng sai là . Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ. ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 8
9. un * un 2 * 18. Cho dãy số biết uu11 1, n với n . Đặt vn với n . 12 un un a) v1 3 . b) Dãy số vn là một cấp số cộng cĩ cơng sai d 4. c) Cơng thức của số hạng tổng quát vn là vnn 74. 2 d) Cơng thức của số hạng tổng quát u là u . n n 74 n Lời giải u1 2 + Ta cĩ: v1 3 . u1 un 2 2 2 + Theo giả thiết, ta cĩ vn 1 nên vn 1 1 . uunn un 1 un 1112 un 1 Do un 1 nên 2 . Suy ra vn 1 1 2 2 . 12 un un 1 u n u n un 22 Khi đĩ, vvnn 1 1 4 1 4 với mọi . uunn Vậy dãy số vn là một cấp suốn c ộng cĩ số hạng đầu v1 3 , cơng sai d 4 . + Ta cĩ: vn v1 ( n 1) d 3 ( n 1)( 4) 7 4 n. un 2 2 2 1 + Từ vn suy ra un . un vn 1 7 4 n 1 3 2 n Đáp án: a) Đ, b) S, c) Đ, d) S. n 13 * 19. Cho dãy số u cĩ tổng n số hạng đầu được tính bởi cơng thức: Sn với n . n 23 n 2 a) Số hạng thứ nhất của dãy số là u1 3. b) Số hạng thứ hai của dãy số là u2 4 . 1 c) Số hạng tổng quát của dãy số là u . n 3n 2 1 d) Dãy số u là một cấp số nhân cĩ cơng bội là . n 3 Lời giải + Su11 3, S2 u 1 u 2 4 nên u2 S 2 S 1 1. ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 9
10. 1 1 1 + Ta cĩ: u S S với mọi n 2 . Mà u 3 nên u với n . Lại cĩ n n n 1 3n 2 1 312 n 3n 2 1 uu . với mọi n 2 . nn 1 3 1 Vậy dãy số u là một cấp số nhân cĩ số hạng đầu u1 3 và cơng bội q . n 3 Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) S. * 3 un * 20. Cho dãy số u , biết u11 17, unn 5 u 12 với n . Đặt vn với n . n 2 a) v1 10 . 1 b) Dãy số ( v ) là một cấp số nhân cĩ cơng bội bằng . n 5 2 c) Cơng thức của số hạng tổng quát v là v . n n 5n n d) Cơng thức của số hạng tổng quát un là un 3 4.5 . Lời giải 3 u Ta cĩ: v 1 10 . 1 2 3 u 3 5uu 12 5 3 vv n 1 nn 5. với n *. nn 1 2 2 2 Vậy dãy số vn là một cấp số nhân cĩ số hạng đầu v1 10 , cơng bội bằng q 5 . n n Vậy vn 2.5 , un 3 4.5 . Đáp án: a) Đ, b) S, c) S, d) Đ. Dạng 3. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn 21. Một nhà thi đấu cĩ 20 hàng ghế dành cho khán giả. Hàng thứ nhất cĩ 30 ghế, hàng thứ hai cĩ 31 ghế, hàng thứ ba cĩ 32 ghế,... Cứ như thế, số ghế ở hàng sau nhiều hơn số ghế ở hàng ngay trước là 1 ghế. Trong một giải thi đấu, ban tổ chức đã bán được hết số vé phát ra và số tiền thu được từ bán vé là 63200000 đồng. Tính giá tiền của mỗi vé (đơn vị: nghìn đồng), biết số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán giả của nhà thi đấu và các vé là đồng giá. Lời giải Trả lời: 80000. Số ghế ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng cĩ số hạng đầu u1 30 , cơng sai d 1. Cấp số cộng này cĩ 20 số hạng. Do đĩ, tổng số ghế trong nhà thi đấu là: 2.30 20 1 .1 .20 S 790 (ghế). 20 2 ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 10
11. Vì số vé bán ra bằng số ghế dành cho khán già của nhà thi đấu nên cĩ 790 vé được bán ra. Vậy giá tiền của một vé là: 63200000: 790 80000 (đồng). 22. Cho tập hợp A gồm 99 số tự nhiên liên tiếp khác nhau A  1;2;3; ;99. Tìm số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp A để ba số đĩ lập thành cấp số cộng. Lời giải Trả lời: 2401. Gọi abc,, theo thứ tự lập thành cấp số cộng a,, b c A . Khi đĩ, b a c b hay 2b a c. Do đĩ, a và c phải cùng là số chãñ hoặc cùng là số lẻ nên số cách 22 chọn hai số ac, cùng chẵn hoặc cùng lẻ là: CC49 50 1176 1225 2401. Với mỗi cách chọn hai số ac, cĩ duy nhất một cách chọn số b . Vậy số cách chọn ba số khác nhau từ tập hợp A để ba số đĩ lập thành cấp số cộng là 2401. 23. Anh Minh kí hợp đồng lao động cĩ thời hạn ở một cơng ty với phương án trả lương như sau: Quý thứ nhất, tiền lương là 27 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 2,1 triệu. Tổng số tiền lương anh nhận được trong các năm đã đi làm là 684 triệu đồng. Hỏi anh Minh đã làm ở cơng ty đĩ bao nhiêu năm? Lời giải Trả lời: 4. Gọi số năm đã đi làm của anh Minh ở cơng ty đĩ là nn * . Số quý làm việc là 4n . Khi đĩ, tổng số tiền thu được của anh Minh trong n năm đi làm là: 2.27 4nn 1 .2,1 .4 S 684 84nn2 519 3420 0 2 285 n 4 hoặc n . 28 Do n nguyên dương nên n 4 năm. 24. Một quả bĩng được thả thẳng đứng từ độ cao 10 m rơi xuống đất và nảy lên. Giả sử sau mỗi một lần rơi xuống, nĩ nảy lên được một độ cao bằng 75% độ cao vừa rơi xuống. Tính tổng quãng đường quả bĩng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bĩng chạm đất lần thứ 10 (làm trịn kết quả đến hàng phần mười của mét). Lời giải Gọi un (m) là độ cao mà quá bĩng đạt được sau khi nảy lên ở lần thứ n . Ta cĩ: u1 10.0,75 7,5. Ta cĩ, dãy un lập thành cấp số nhân cĩ u1 7,5 và cơng bội q 0,75 . Kể từ lúc thả xuống đến khi quả bĩng chạm đất lần thứ , quả bĩng đã được nảy lên 9lần rồi lại rơi xuống. Do quãng đường quả bĩng nảy lên và rơi xuống bằng nhau nên tổng quãng đường quả bĩng di chuyển được kể từ lúc thả xuống đến khi quả bĩng chạm đất lần thứ là: 1 (0,75)9 S 10 2 u u  u 10 2.7,5. 65,5 (m). 1 2 9 1 0,75 25. Một tam giác đều cĩ cạnh bằng 4 cm . Chia tam giác đều đĩ thành 4 tam giác đều bằng nhau và tơ màu tam giác ở trung tâm. Với mỗi tam giác nhỏ chưa được tơ màu, lại chia thành tam giác đều bằng nhau và ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 11
12. tơ màu tam giác ở trung tâm (Hình l). Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại. Tính tổng diện tích phần đã được tơ màu ở hình tơ thứ 5(đơn vị: cm2 , làm trịn kết quả đến hàng phần trăm). Hình 1 Lời giải Gọi là diện tích phần khơng được tơ màu ở hình tơ thứ n, S0 là diện tích của tam giác ban đầu. Ta cĩ: 3 3 uS . Do ở hình tơ thứ , diện tích phần khơng được tơ màu bằng diện tích phần khơng được tơ 104 4 3 3 màu ở hình tơ trước đĩ nên dãy lập thành cấp số nhân cĩ số hạng đầu uS , cơng bội q . 104 4 Do đĩ, n nn 1 3 3 3 un  S00  S  4 4 4 n 3 Vậy diện tích phần đã được tơ màu ở hình tơ thứ n là: SSn 0 1 . 4 5 2 Thay n 5, ta được S5 4 3. 1 0,75 5,28 (cm ). 26. Cho hình vuơng C1 cĩ cạnh bằng . Người ta chia mối cạnh hình vuơng C1 thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để cĩ hình vuơng C2 . Từ hình vuơng C2 lại làm tiếp tục như trên để cĩ hình vuơng C3 . Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuơng CCCC1,,,,, 2 3 n như Hình 2. Tính diện tích của hình vuơng thứ 6 (đơn vị: cm2 , làm trịn kết quả đến hàng phần trăm). u n n Hình 2 un Lời giải Gọi an (cm) là độ dài cạnh hình vuơng thứ . Ta cĩ: 4 cm ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 12
13. 22 aa11 3 10 a1 4, a 2 a 1  . 4 4 4 n 1 10 10 Cứ như thế, dãy a lập thành cấp số nhân cĩ cơng bội q . Do đĩ, a 4   n n 4 4 2 2 Vậy diện tích hình vuơng thứ 6 là a6 1,53 (cm ). ≫ TÀI LIỆU ƠN TẬP THEO CHƯƠNG TRÌNH MỚI Trang 13